随机泛函微分方程的渐近行为

Stochastic functional differential equations arise in a wide variety of applications where noises and delays are taken into account. In some situations, noises and delays may significantly affect the evolution of the system. This project is devoted to the asymptotic behavior of stochastic ordinary and partial functional differential equations and sotchastic delay infinite lattice systems, including the existence, continuity and dimension of random attractors, and the existence and stability of stationary solutions. We first transform the stochastic functional differential equation into a deterministic functional differential equation or integral equation with random coefficents by means of the change of variable. Then, we discuss the well-posedness and regularity of the deterministic equation in an appropriately chosen function space, and establish the random dynamcial system generated by the stochastic functional differential equation. Next, we show the dissipativity and asymptotic compactness of the random dynamical system, and prove the existence of a random attractor. And then, we study continuity and dimension of the random attractor. In particular, by using the theory of random monotone dynamical systems, we investigate the existence and stability of stationary solutions for some stochastic functional differential equations. The aim of this project is to explore the conditions guaranteeing the existence of random dynamical systems generated by stochastic functional differential equations, to develop the theory of random attractors and monotone dynamical systems for stochastic functional differential equations, to unveil the influence of noises and delays on long-time behavior of solutions, and to find out new phenomena different from stochastic differential equations and deterministic funcional differential equations.

随机泛函微分方程源自具有噪声和时滞的各种应用领域。某些情况，噪声和时滞可能对系统的演化有显著影响。本项目研究随机常、偏泛函微分方程和随机时滞无穷格点系统的渐近行为，包括随机吸引子的存在性、连续性和维数，以及平稳解的存在性和稳定性。首先，利用变量替换，将随机泛函微分方程转化为含随机系数的确定性泛函微分方程或积分方程。然后，在适当选择的函数空间中讨论确定性方程的适定性和正则性，建立随机泛函微分方程生成的随机动力系统。其次，验证随机动力系统的耗散性和渐近紧性，证明随机吸引子的存在性。接着，研究随机吸引子的连续性和维数。特别地，对某些随机泛函微分方程，利用随机单调动力系统理论，讨论其平稳解的存在性和稳定性。本项目旨在探索随机泛函微分方程生成随机动力系统的条件，发展随机泛函微分方程的随机吸引子和单调动力系统理论，揭示噪声和时滞对解的长期行为的影响，发现不同于随机微分方程和确定性泛函微分方程的新现象。

随机泛函微分方程源自具有噪声和时滞的各种应用领域。某些情况，噪声和时滞可能对系统的演化有显著影响。本项目探讨噪声和时滞对随机泛函微分方程解的长期演化行为的影响。首先，利用平稳Ornstein-Uhlenbeck过程，将随机泛函微分方程变换为带随机系数的泛函微分方程，并建立变换前后两方程之间的随机共轭。其次，运用泛函微分方程的基本理论，证明变换后方程的解映射是一个随机动力系统，进而得到原方程生成的随机动力系统。接着，验证随机动力系统的耗散性和渐近紧性，证明变换后方程的随机吸引子的存在性和上半连续性。然后，通过变换前后两方程之间的随机共轭，得到原方程的随机吸引子的存在性和上半连续性。研究全空间上具有加法噪声或乘法噪声的随机时滞反应扩散方程，利用截断技术和尾估计方法，建立了随机吸引子的存在性。研究具有加法噪声或乘法噪声的随机时滞无穷格点系统，得到状态空间上序列的紧性准则，建立了随机吸引子的存在性。研究具有加法噪声或乘法噪声的非自治随机时滞无穷格点系统，利用截断技术和尾估计方法，建立了拉回吸引子的存在性和上半连续性。研究有界区域上具有加法噪声的随机时滞二维Navier-Stokes方程和具有乘法噪声的随机自催化反应扩散系统，建立了随机吸引子的存在性和上半连续性。研究有界域上具有乘法噪声的随机Gray-Scott方程，建立了随机吸引子的存在性。研究具有时滞的两种群比率依赖捕食者-食饵斑块扩散系统，利用比较定理，建立了系统的持续性。研究时标上具有单调或非单调数值反应的比率依赖捕食者-食饵时滞系统，建立了周期正解存在性。