几类随机微分方程的Harnack和泛函不等式及其应用研究

This project aims to study Harnack inequalities and functional inequalities as well as the related applications for some classes of stochastic differential equations. Our research work mainly includes the following detailed contents and aims..Firstly, based on coupling arguments we will establish log-Harnack inequalities and functional inequalities for stochastic Hamiltonian systems driven by fractional Brownian motions, which are then applied to the study of the strong Feller property and the asymptotic behaviors of solutions..Secondly, we will give shift Harnack inequalities for backward stochastic differential equations driven by fractional Brownian motions (including Brownian motions case) using the techniques of Malliavin calculus. As applications, we will investigate the problems of the estimates of the heat kernel and stochastic optimal control..Thirdly, by using Mecke formula and Malliavin calculus we will obtain Harnack inequalities and functional inequalities, such as Poincaré inequalities and log-Sobolev inequalities, for Ornstein-Uhlenbeck processes and stochastic differential equations driven by fractional Lévy processes. As a consequence, gradient estimates are given.

本项目拟将研究几类随机微分方程的Harnack和泛函不等式及相关应用问题。主要包括：通过耦合论证建立由分数布朗运动驱动的随机哈密尔顿系统的对数Harnack和泛函不等式，并由此研究强Feller性以及解的渐近行为；通过Malliavin分析给出由分数布朗运动驱动的倒向随机微分方程(包含布朗运动噪声情形)的平移Harnack不等式，探讨其在热核估计、随机最优控制等问题中的应用；通过Mecke公式和Malliavin分析得到由分数Lévy过程驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程和随机微分方程的Harnack不等式以及Poincaré、对数索伯列夫等泛函不等式，进而给出梯度估计。

随机微分方程理论具有广阔的应用前景，受到人们的广泛关注和重视。本项目主要研究几类随机微分方程的Harnack型不等式及相关问题。研究内容和结果主要包括:（1）基于Malliavin计算和耦合论证分别推导出由分数布朗运动驱动的退化型随机微分方程以及随机哈密尔顿系统的Bismut型导数公式，从而建立Harnack型不等式、超有界性、梯度-熵不等式以及强Feller性。（2）证明了由分数布朗运动驱动的倒向随机微分方程解分布密度的存在性，并给出了分布密度的上、下界估计及解分布的尾估计。应用转换定理，得到了由高斯过程驱动的倒向随机微分方程解分布密度的高斯型上、下界估计；建立了由Lévy过程驱动的倒向随机微分方程的单调极限定理，从而证明了由Lévy过程驱动的反射型倒向随机微分方程解的存在唯一性。（3）探讨了由分数Lévy过程（含其特殊形式）驱动的O-U过程和随机微分方程。建立了由分数布朗运动驱动的（泛函型）随机微分方程的Bismut型导数公式和梯度估计，并得到了Harnack型不等式和强Feller性；分别研究了由分数Lévy过程及稳定过程驱动的O-U过程和随机微分方程的参数估计问题，并讨论了估计量的一致性和渐进分布等大时间行为。（4）证明了当漂移系数满足有界线性增长条件时，由分数布朗运动驱动的随机微分方程弱解的唯一性和分布密度的存在性，并对该类方程的可加泛函给出了高斯型尾估计。（5）证明了带马氏切换的由分数布朗运动驱动的随机抛物型方程解的存在唯一性并借助发展系统给出了解的显性表示, 进一步研究了方程解在轨道和矩两种意义下的指数稳定性问题。（6）研究了由G-布朗运动驱动的几类随机微分方程解的存在唯一性、稳定性、渐近有界性以及随机控制等问题。（7）研究了高维稀疏精度矩阵的置信区间和有效分布式估计问题。.研究成果丰富和发展了随机微分方程理论，促进了其相关领域的发展。