稳定局部迹公式

Langlands program is the central concern of modern number theory. It contains two parts. One part is called classic Langlands program, which was proposed by Langlands in the 1960s. It builds the relation of Number theory and Automorphic representations. The other part is called geometric Langlands program, which was developed by Ngo who proved the fundament lemma and Frenkel in this century. It relates the geometry to the physics. It is a new and important theory. It is similar to the classic Langlands program. So we call it for geometric Langlands program..I will study the classic Langlands program. In general, we have two methods to study it. We think the main way is through the trace formula, which was successfully used to endoscopy theory, which is the special case of classic Langlands program. To study the trace formula is a part of Arthur’s work. My program have two goals, one is to study the spectral side of local trace formula on Archimedean case. The other is to use it to obtain the global multiplicity formula.

朗兰兹纲领是当今数论关注的核心之一。它由两部分组成，一部分为经典的朗兰兹纲领，这是Langlands在上个世纪60年代提出的，旨在建立数论和表示论之间的联系。另一部分为几何朗兰兹纲领，这是由基本引理的证明者吴宝珠教授和Frenkel于本世纪发展起来的重要研究方向，旨在建立几何与物理之间的联系，这是一个新的与经典朗兰兹纲领平行的理论，所以我们称之为几何朗兰兹纲领。.本项目主要关注的是经典朗兰兹纲领，目前有两种研究经典朗兰兹纲领的方法，一种是L函数的方法，另一种是迹公式。其中迹公式被认为是解决朗兰兹纲领的一般方法。它在特殊情形Endoscopy理论上取得了成功，这主要是Arthur, Ngo等人的工作。本项目的研究任务有两个，第一个是在实数域的情况下研究局部迹公式的谱项，第二个是迹公式的应用，如给出整体的重数公式。

Langlands纲领是现代数学的核心之一。它把数论，代数几何，代数数论，调和分析，表示论很深刻的联系在一起。目前认为解决Langlands纲领的主要工具是迹公式。在Endoscopy理论中，Arthur在假设基本引理成立的条件下，于2003年完成了稳定迹公式的证明。2008年，Ngo完成了基本引理的证明，他也因此获得了2010的菲尔茨奖。因此我们获得了无条件的稳定迹公式。我们同时也建立了约化群与它的Endeoscopy群之间的函子性。Langlands纲领的一大类情形由此获得了证实。.Arthur-Selberg迹公式的发展与应用成为Langlands纲领中的一个重要的主题。迹公式的发展主要有两个方向，一个发展方向是找到更本质的，更基本的迹公式。这自然是最具挑战性的难题。Langlands提倡了Beyond endoscopy理论，希望能回答这个问题，但就目前来说基本上看不到希望。自然的想法是去寻是否有相对于Endoscopy理论的更本质，更一般的推广方式。目前也是处于探索阶段。.第二个方向是迹公式的具体化。通过迹公式的具体化，我们希望能更好的理解迹公式的谱项的稳定分布的几何解释。因为Arthur的稳定迹公式的主要组成部分是稳定分部（几何项和谱项），Arthur只是通过诱导的方式定义了稳定分部的存在性。并没有给出稳定分布的具体表达式。因此本项目的目的是给出局部迹公式的稳定分布的具体公式。.我们很好完成了本项目的目标。这个目标的完成分成两部分，第一部分是对椭圆的情形给出具体的稳定分布。我们具体构造了关于重要特征与Endoscopy群的表示的转换因子，给出稳定局部迹公式的具体公式，以及Weyl 公式的稳定化，通过两个稳定公式的对照我们获得了稳定分布的具体公式。同时我们也能给出表示的重数公式。第二部分是给出一般情形的稳定局部迹公式。这些成果已经发表。.这个项目的完成，为未来我们能在迹公式的发展以及应用方面做出更多深入的研究奠定了一些基础。