复截面体与广义复Busemann-Petty问题

Nowadays integral transforms are well used to solve a series of classic problems such as the celebrated real Busemann-Petty problem and its generalizations. The lower dimensional generalized real Busemann-Petty problem is still open, and it has attracted increased interest for this direction. In this proposal, we shall extend the real intesection body to complex case, and define the complex intersection body and study its metric properties. By using integral transforms and valuations, we will try our best to solve the generalized complex Busemann-Petty problem and establish the dual Minkowski inequality and the dual Brunn-Minkowski inequality for complex intersection bodies.

利用积分变换研究Busemann-Petty问题，这一研究方向近十多年来在国际上空前繁荣并解决了一系列凸几何学中的经典难题，最著名的当属实Busemann-Petty问题及其推广形式的研究。而低维广义实Busemann-Petty问题的悬而未决使得该方向的研究进一步深入，目前它是凸几何研究的热点之一。本项目拟将实截面体推广到复空间，引入复截面体，并研究其相关的度量性质，利用积分变换、赋值等工具致力于研究以下两方面内容：.(1)广义复Busemann-Petty问题的局部解；.(2)建立复截面体的对偶Minkowski不等式和对偶Brunn-Minkowski不等式。

利用积分变换研究实Busemann-Petty问题及其推广形式是凸几何研究的热点之一. Koldobsky, Konig和Zymonopoulou将实Busemann-Petty问题推广到了复空间, 证明了复Busemann-Petty问题的答案在复空间C^n的维数n小于等于3时是肯定的, 在n大于等于4时是否定的. 并且他们证明了复截面体是解决复Busemann-Petty问题的关键..本项目研究了复截面体及混合复截面体的相关极值性质, 建立了关于复截面体的对偶Minkowski不等式和对偶Brunn-Minkowski不等式. 并且利用积分变换我们将张高勇提出的广义实Busemann-Petty问题推广到了复空间. 而截面体与投影体是凸几何中的具有“对偶”性质的两个重要概念, 我们也研究了复投影体及混合复投影体的相关极值性质. 这些结果丰富了凸几何的研究.