动态空间中发展方程长时间行为的研究

In this project, we mainly consider the global well-posedness, existence and property of attractor for the evolutionary equation where the coefficient of the operator depending on the time, which arising from physics, celestial mechanics etc. closely: (1) the criterion and method for the existence of time-dependent global attractor for the evolutionary equation without more regularity of the solution and the property of the attractor; (2) long time behavior for weakly damped wave equation with supercritical nonlinearity where the coefficient of wave operator depend on the time; (3) the existence and structure of the attractor for the evolutionary equation where the coefficient of operator and forcing term depend on time. These problems not only have important backgroud in applications and are important ones in very active research directions in the world in recent years, but also are incomplete in theories and methods, mostly concerned by worldwise colleagues. Therefore, studying on these problems will result in important impact on the research of theories, methods and applications of infinite-dimensional dynamicalsystems in time-dependent space.

本项目拟研究在物理、天体力学等学科中出现的算子系数依赖于时间的发展方程解的整体适定性，吸引子的存在性与性质：(1)方程的解在没有更高正则性的情形下，依赖时间的全局吸引子存在的判定准则、方法及性质问题；(2)波动算子系数依赖时间，非线性项超临界增长时，弱阻尼波方程解的长时间行为；(3)算子系数依赖时间、外力项依赖时间的发展方程吸引子的存在性及结构。这些问题都具有重要应用背景，是近年来国际上极为活跃的研究方向上的重要问题，也是理论和方法上有待完善并受国际同行关注的重要问题。因此，对这些问题的研究，必将在动态空间中无穷维动力系统理论、方法、应用的研究上产生重要影响。

本项目从理论、方法、应用三个角度研究了在物理，天体力学等学科中出现的算子系数依赖于时间的发展方程解的长时间行为。首先我们以非紧性测度为工具，建立了动态空间中发展方程依赖时间全局吸引子存在性的充要条件，并给出了验证充要条件的一个方法，利用所给出的抽象理论得到两类可拓展梁方程以及耗散型波方程依赖时间全局吸引子的存在性。接着，我们利用流不变集的思想和指标理论研究了耗散系统在原点是与不是对应Lyapunov泛函极小点情形下，多重平衡点的存在性；针对可扩展梁方程的稳态方程，利用Nehari流形Ekeland 变分原理以及Lagrange乘子研究了具有凹凸位势的带Kirchhoff 双调和方程多解的存在性，进而研究了可扩展梁方程全局吸引子的性质。另外，我们研究了超临界增长条件下耗散波方程在强、弱拓扑空间中全局吸引子、指数吸引子的存在性。