双曲空间上多孔介质方程解的长时间行为

The nonlinear PDEs on hyperbolic space have been receiving many attentions since 2000. In this project, we shall focus on the long time behavior of the porous medium equation in hyperbolic space (denoted by HPME), especially the optimal class of initial datum for global solution of HPME, the fundamental solution and the long time behavior of HPME on 2 dimensional hyperbolic space and the similar problem for HPME with source of polynomial type, the traveling wave solutions of HPME. We aim to find the distinction between long time behaviors for nonlinear diffusion equations on the hyperbolic space and those on the Euclidean space, and to explore the influence of geometry on the dynamics of degenerate parabolic equations.

双曲空间上的非线性偏微分方程是近年兴起的一个新的研究领域. 本项目主要关注双曲空间上多孔介质方程(记为HPME)解的长时间行为. 首先探讨HPME时间整体解初值的最优函数类问题; 其次, 研究低维双曲空间内HPME的基本解和长时间行为; 最后, 研究HPME的行波解问题... 尽管双曲空间和欧氏空间有很多相似的几何性质, 但已有的研究结果表明双曲空间上非线性扩散方程解的表现行为却有很大的不同; 另一方面, 在数学方法上, 相较于欧氏空间，双曲空间上的非线性偏微分方程其低维问题更为困难. 申请人希望通过对这些问题的研究发现双曲空间上相关问题和欧氏空间上经典结果的联系和区别, 探明空间的几何性质对退化抛物方程动力学性质的影响.

本项目拟研究双曲空间上多孔介质方程的长时间行为。本项目执行期间，在热方程的爆破理论方面取得两方面的研究成果：（1）伪抛物方程解的生命跨度估计。采用积分估计方法，给出解的生命跨度和非稀疏初值密度分布或具紧支集初值最大模之间的关系。（2）构造了退化Hamilton-Jacobi方程的小初值梯度爆破解。 .同时，受本项目的资助，我们也得到色散方程散射和爆破理论的一些新结果：统一了质量-能量门槛上下的 \cdot{H}^{1/2} 临界聚焦型Hartree方程的散射证明方法；构造带有非局部非线性项的Gross–Pitaevskii方程的大能量爆破解等。..我们研究伪抛物方程解的生命跨度时的积分估计方法主要依赖于热核性质，可以推广到较一般的Cartan-Hadamard流形中。 我们的积分估计方法也能克服传统的基于比较原理的估计方法的一些不足。本项目的研究结果和方法将在一定程度上丰富偏微分方程理论。