非线性退化发展型方程解的长时间行为

The project is devoted to the long-time behavior of some degenerate evolutionary equations arising in physics. We will focus on the following problems:.(1) The existence and regularity of solutions to some nonlinear degenerate equations and the continuous dependence on the intial data;.(2) The existence of global attractors for some semigroups generated by some autonomous infinite dynamical systems and the existence of uniform attractors or pullback attractors for some families of progresses generated by some non-autonomous infinite dynamical systems;.(3) The existence of the equilibrium point and multiple equilibria points and the dynamical behavior near equilibria points of some infinite dimensional dynamical systems, for which we study not only the existence of the equilibrium point and multiple equilibria points and the dynamical behavior near equilibria points with Lyaponuv function or without Lyaponuv function but also the stable manifold, unstable manifold and center manifold of the equilibra points.

本项目主要以具有鲜明物理意义的非线性退化发展型方程为背景，研究一些具体的非线性退化方程整体解的存在性、正则性及解半群的全局吸引子(包括一致吸引子和拉回吸引子)的存在性，并探索研究非线性退化方程所对应系统平衡点的存在性，多重性以及平衡点附近的动力学行为,研究具有或不具有Lyaponuv 泛函的无穷维动力系统的平衡点的存在性,多重性，研究平衡点的稳定流形，不稳定流形以及中心流形等.

本项目主要研究了几类退化发展型方程的长时间行为.非线性发展型偏微分方程解的整体存在性、正则性、稳定性以及解的长时间性质的刻画一直是无穷维动力系统所关心的主要问题, 而具有鲜明的物理背景具退化的非线性发展方程来源于自然界中广泛存在着的自然现象。开展对退化发展型方程的研究有很好的实际意义和理论意义。本项目主要研究了几类退化方程长时间行为,得到了这些方程所对应系统的全局吸引子的存在性和性质, 针对系统不同的退化程度,结合非线性泛函分析当中的z_2指标理论探索研究了非线性退化方程所对应系统平衡点的存在性. 特别地, 针对强退化方程我们给出了一个全局吸引子是无穷维的新的例子. 这些研究内容一方面是偏微分方程和无穷维动力系统领域中的本质问题，另一方面，也为非线性泛函分析的理论研究提供了丰富而又具体的背景，在理论上具有深刻性和前瞻性。