几何色散方程的长时间行为

Geometric dispersive equations include a wide class of mathematical physical PDEs represented by wave maps, Schrodinger maps, Yang-Mills equation and Landau-Lifchitz equations. They are fundamental equations describing relativity, ferromagnet chain, field theory and condensed matter state. The research on long time behavior of such kind equations not only meets the demand of the research on related physical mechanism but also represents the current tendancy of nonlinear dispersive equations. It's one of the main fields of nonlinear dispersive equations. By construction of delicate functional spaces based on analyzing the interaction of difference frequencies in nonlinear terms, choosing suitable gauges and controling their spacetime evolution, derivation of linear estimates for wave and dispersive equations with potentials, we will study the well-posedness, blow-up mechanism, asymptotic behaviors of geometric dispersive equations from Euclidean space or non-compact curved space. Through this project, we will not only understand the physical mechanism implied by the equations but we extend the current techniques. Moreover, we will also explore some open problems on wave maps and Schrodinger maps.

几何色散方程包含以波映射、薛定谔映射、Yang-Mills方程、Landau-Lifshitz方程为代表的一类广泛的数学物理方程，它们是描述相对论、铁磁链、场论、凝聚态等物理现象的基本方程。对这类方程的长时间行为的研究，既是相关物理机制研究的需要，也是非线性色散方程发展的必然趋势，现在已经成为非线性色散方程的主流方向之一。本项目将通过分析非线性项频率的相互作用以构造适当的函数空间、选取合适的标架并对其演化进行时空控制、推导带位势的波动或色散方程的线性估计等关键技术，对从欧氏空间或非紧弯曲空间出发的几何色散方程的适定性、爆破机制和渐进行为进行系统的研究。通过本项目，我们不仅将深入理解这些方程所蕴含的物理机制，还将发展并推广现有方法与技术。另外，我们还将对波映射、薛定谔映射的一些悬而未决的问题进行探索。

我们在本项目中对乘积流形上的薛定谔方程建立了散射理论，深入研究了几何色散方程的解的行为，并把相关理论和方法应用到流体方程中。此外，我们还对不同类型的色散方程和流体方程构造了ODE型、自相似型的有限时刻爆破解。. 本项目具有科学意义体现在以下几个方面：首先，某些方程在伸缩变换下发生改变，我们给出了非常系统的方法来阐述对于这样的方程如何在临界空间建立散射理论，这对以后此类型问题提供了一套系统的解决策略。其次，我们研究从弯曲空间出发的几何色散方程，并且发现了与之前不同的现象和行为，这对于人们从更几何的角度理解色散方程也是非常有益的。再次，我们的结果表明，任何的紧集都可以作为半线性波动方程的爆破集，这显示出第一类爆破解的行为可以非常复杂。我们在相关文章中发展了一套全新构造逼近解的方法，这套方法是普适的，会在很多其它色散或者流体问题中得到应用。最后，对于多孤粒子方面的工作，审稿人认为我们的工作“给出了波动型方程的动力学行为的非常精细的描述，这是非常令人吃惊的，并且为以后得到更一般和普适结果开启了一扇门。” 而且，多孤粒子行为不仅在数学上是非常重要的，它还与动力系统以及实验物理紧密相关。对这个行为的精细描述必然对其它相关方面产生重要作用。. 在此项目的资助下，项目组成员已经发表了SCI论文10篇。在本项目资助下，我们还培养了三名博士研究生和一名硕士研究生。