杨-巴克斯特方程相关代数

The study of Yang-Baxter equation is an important subject in mathematical physics. In this project, we pay our main attention to the study of the classical and the quantum Yang-Baxter equations and some related algebraic structures through representation theories of algebras. These algebraic structures involve left-symmetric algebras, vertex algebras, Novikov algebras and affinization, renormalization theory of quantum field theory, Loday algebras and their Lie and Jordan analogues, bialgebras, cyclic cohomology theory, higher structures of Lie algebras, 3-Lie algebras and n-Lie algebras, non-homogeneous classical associative Yang-Baxter equation, Rota-Baxter algebras, operads, representation theory of Yangians and its application in physical models, Yang-Mills field, quantum computation. By doing it, we try to study the problems appearing in some related fields like algebra, geometry, topology, combinatorics, classical and quantum mechanics, string theory and quantum computation and the application in these fields. Therefore we hope to find some new ideas and approaches to solve problems in mathematics and physics in terms of algebraic methods.

杨-巴克斯特方程的研究是数学物理中一个重要研究方向。本项目以经典与量子杨-巴克斯特方程为中心，运用代数表示理论研究与之相关的一些代数结构，主要涉及左对称代数、顶点代数、Novikov代数与仿射化、量子场论重整化、Loday代数与其李代数和Jordan代数类似结构、双代数、循环上同调理论、李代数高阶结构、3-李代数和n-李代数、非齐次经典结合杨-巴克斯特方程、Rota-Baxter代数、operad、Yangian表示理论及在物理模型中的应用、Yang-Mills场、量子计算等方面的重要课题，由此讨论众多与代数、几何、拓扑、组合、经典与量子力学、经典与量子场论、弦理论、量子计算等领域密切相关的问题，进而探索在这些领域的应用，从而为利用代数方法解决数学与物理中问题提供新的思想和途径。

杨-巴克斯特方程的研究是数学物理中一个重要研究方向。本项目以经典与量子杨-巴克斯特方程为中心，运用代数表示理论研究与之相关的一些代数结构。主要成果包括系统研究李-2双代数，给出严格李-2双代数对应的Manin triple和相应的高阶经典杨-巴克斯特方程的构造；建立Poisson代数的双代数理论，给出相应的经典杨-巴克斯特方程以及其算子形式和相关的代数结构；讨论operad的disuccessor 和duplicator；给出Rota-Baxter代数的推广并建立其与dendriform和tridendriform代数的关系；讨论相关于G-结合代数的李群上的左不变度量及低维分类；给出构造Hom-李双代数的新途径，其等价于Hom-李代数的Manin triple；通过L-dendriform 代数构造一类特殊的伪-Hessian李代数，其等价于L-dendriform 双代数；给出3维复单李代数上的权为零的Rota-Baxter算子的完全分类；研究2d伽利略共形代数的超对称推广的一些代数性质；引入全相容结合代数和李代数的概念并讨论其性质；研究顶点代数一类重要的模，其相关于一族1维可加形式群的associate，对它们得到Jacobi型等式和交换子公式；研究相容李双代数，其可以分别看成是相容李代数的双代数结构和李双代数的相容化结构；引入左对称代数胚的概念并讨论其性质；给出Witt代数和Virasoro代数上的齐次Rota-Baxter算子的分类；研究n-李代数的Nijenhuis算子；通过principal基给出相关于gl(n)的Yangian实现，并且直接具体给出相关于sl(n)的Yangian在其自然表示与其对偶表示的张量空间上的作用等。这些成果为利用代数方法解决数学与物理中问题提供新的尝试。本项目基本按计划完成了主要的研究内容，实现了主要的研究目标。这些成果已经发表16篇论文（其中15篇被SCI收录）。