Pseudo-双代数相关的杨巴克斯特方程和上同调理论

This project mainly studies theories of YBE, cohomology and categorification on pseudo-bialgebra. We are firstly devoted to considering the categorification and quantization of Lie pseudo-bialgebra and constructing the solutions of the 2-graded CYBE in the strict Lie 2-pseudoalgebra using O-operators . Secondly, we compute the cohomology of some special Lie pseudoalgebra and consider the cohomology theory of left symmetric pseudoalgebra, Lie 2-pseudoalgebra, Lie pseudo-bialgebra and infinitesimal pseudo-bialgebra. Finally, we prove that left symmetric pseudo-bialgebra is equivalent to parakahler Lie pseudoalgebra; we also explore the equivalence between the phase space of alternative pseudoalgebra and prealternative pseudo-bialgebra. Furthermore, the S-equation in the sense of left symmetric pseudo-bialgebra, PA-equation of prealternative pseudo-bialgebra and AYBE of D-pseudo-bialgebra are also systematically studied.

本课题主要研究与pseudo-双代数相关的杨巴克斯特方程和上同调理论以及范畴化问题。我们首先研究李pseudo-(双)代数的范畴化和量子化问题；利用李2-pseudo-代数上的O-算子构造2-分次CYBE的解。其次，计算一些特殊的李pseudo-代数的上同调，考虑左对称pseudo-代数、李2-pseudo-代数、李pseudo-双代数和无穷小pseudo-双代数的上同调理论。最后，证明parakahler型李pseudo-代数与左对称pseudo-双代数等价，探究预交错pseudo-双代数与交错pseudo-代数的相空间的等价性，系统地研究左对称pseudo-双代数意义下的S-方程，预交错pseudo-双代数体数系下的PA-方程和交错pseudo-代数意义下的AYBE。

本课题主要研究与pseudo-双代数相关的杨巴克斯特方程和上同调理论等问题。.1.讨论了Hom-结合 pseudo-代数和Hom-李 pseudo-代数的上同调结构。我们把Gerstenhaber研究经典代数的方法推广到了Hom-pseudo-代数上，分别在Hom-结合 pseudo-代数和Hom-李 pseudo-代数的上同调的多线性映射空间上定义了Gerstenhaber bracket和Schouten product，证明了它们的上同调的多线性映射空间是微分分次李代数。.2.在V. G. Kac、B. Bakalov和A. D'Andrea的工作基础上，研究了 -李pseudo-代数特别是分次李pseudo-代数的上同调理论，进一步地考虑了如下问题：.(i)利用其上同调理论考虑了 -李pseudo-代数的扩张和形变理论；.(ii) 探讨了 -李pseudo-代数的零化子代数的表示与 -李pseudo-代数的表示之间的关系；证明了 -李pseudo-代数的基础上同调与其零化子代数的Gelfand_Fuchs上同调同构。.3.在I. Liberati和C. Boyallian工作的基础上，（i）考虑分次李pseudo-双代数版本下的Manin triples，Drinfeld double理论以及与其相关的经典杨巴克斯特方程理论； (ii)将李 pseudo-双代数结构进行了推广，得到了一种新的代数结构：Hom-李 pseudo-双代数，给出了如何从李 pseudo-双代数得到Hom-李 pseudo-双代数的构造定理;进一步地，研究了与它相关的CHYBE理论以及coboundary型和quasi-triangular型Hom-李 pseudo-双代数及其相关的CHYBE理论。