拟变分不等式的高效数值算法及其收敛性研究

Quasi-variational inequality is an important class of optimization problems. As a powerful tool, quasi-variational inequality has a very wide range of applications, such as mechanical, physics, economics, statistics, transport and biology etc. Compared with variational inequality and complementarity problem, it is much more difficult to solve the quasi-variational inequality. It needs further research in this field. The project intends to design overlapping domain decomposition algorithms for elliptic quasi-variational inequality, such as multiplicative Schwarz algorithm and additive Schwarz algorithm and so on, build the theoretical framework of the convergence of the algorithm and make error analysis. For some special set mappings, we will obtain their corresponding KKT conditions and design semi-smooth Newton method. Furthermore, combining domain decomposition algorithm, we will design semi-smooth domain decomposition algorithms, such as semi-smooth Schwarz method, semi-smooth multi-splitting method etc. Based on non-smooth analysis, we will discuss the convergence of the algorithm, and use the problems in quasi-variational inequality test library to test the effectiveness of the algorithms. We will appropriately design algorithms for tensor complementarity problems. The algorithms proposed in this project will be a good complement to quasi-variational inequalitiy theory.

拟变分不等式是一类重要的优化问题。作为一个强大的工具，拟变分不等式具有十分广泛的应用领域，如机械，物理，经济，统计，运输和生物学等。相比于变分不等式和互补问题，拟变分不等式的算法设计和求解难度要大很多，这方面的研究有待于进一步深入。本项目拟研究椭圆型拟变分不等式的重叠区域分解算法，如乘性Schwarz算法和加性Schwarz算法等，搭建算法的收敛性理论框架并进行误差分析。针对几类带有特殊集值映射的拟变分不等式问题，得到相应的KKT条件，并设计半光滑Newton算法。进一步结合区域分解算法，设计半光滑区域分解算法，如半光滑Schwarz法，半光滑多重分裂法等。基于非光滑分析，讨论算法的收敛性，并对拟变分不等式问题测试库中的问题做数值实验，验证算法的有效性。项目拟适当从事张量互补问题的算法研究。本项目的算法研究将是拟变分不等式算法理论的一个较好补充。

拟变分不等式是一类重要的优化问题。作为一个强大的工具，拟变分不等式具有十分广泛的应用领域，如机械，物理，经济，统计，运输和生物学等。项目对拟变分不等式相关问题如非线性互补问题，HJB方程，张量方程和张量互补问题等研究高效数值算法，建立算法的收敛性理论，通过数值实验验证算法的有效性。项目取得了如下重要结果：1. 针对一类HJB方程提出了一种半光滑Newton算法，建立了算法的收敛性理论，数值实验表明所提出的算法是十分有效的。2.针对一类半线性椭圆障碍问题，提出了一种单调收敛算法，证明了算法的二次收敛性。3.针对一类非线性互补问题，提出了模系多重分裂算法。我们在天河二号上运行该算法，结果表明该算法具有优良的并行性。4. 对于张量方程，借鉴线性方程组的迭代法，提出了求解张量方程的张量分解算法，并给出了几个具体算法形式，如Jacobi迭代,Gauss-Seidel迭代,SOR迭代等。数值实验表明所提出的算法在数值表现方面优于现有的其他算法。5.张量互补问题是近几年提出的问题，这类问题的算法较少。我们提出了多种数值算法，如序列数学规划方法，两水平加性Schwarz算法，低维张量方程法等。和一般求解非线性互补问题算法不同，这些算法充分利用张量的结构，所得到的算法具有较好的数值效果。