拟线性抛物方程高效有限元算法及其超收敛性

For the quasilinear parabolic differential equations, we shall extend the idea of interpolated coefficients to the space-time finite element method. Introducing finite element discrete with interpolated coefficient in both space and time, we shall obtain the space-time finite element with interpolated coefficient. Apllication of element analytical method and its rectify technique, we shall study that it has the same superconvergence and consistent convergence as that standard space-time finite element, but more economic and efficient. The following is an outline of the main research of this research program:. For one dimension of quasiliear parabolic problem we shall introduce sectionally continuous finite element discretation with interpolated coefficients in spatial interval, while we shall introduce continuous finite element or discontinuous finite element with interpolated coefficients in temporal interval based on smooth quality of parameters.. We shall extend the idea of interpolated coefficients for two dimensions of quasiliear parabolic problem to the spatial finite element discretation based on triangular partition or rectaugular partition, and to the continuous finite element discretation and discontinuous finite element discretation in time.. We shall extend the idea of interpolated coefficients for more complicated high dimension quasilinear parabolic equations and quasilinear Schrödinger equations to the space-time finite element method. We shall aslo study deeply if the space-time finite element have conservation law or quasi-conservation law for nonlinear Schrödinger equations.

本项目针对拟线性抛物微分方程，将插值系数的思想用于时空有限元方法中，对时间和空间都采用插值系数有限元离散，研究插值系数时空有限元方法的高效计算格式，并利用中国学派的单元分析法及其校正技术证明插值系数时空有限元在时间和空间的某些特定点的超收敛性及一致收敛性。. 本项目主要内容为：对一维拟线性抛物问题，在空间上采用分段连续的多项式作插值系数有限元离散，根据参数的光滑条件的不同，在时间上作连续插值系数有限元及间断的插值系数有限元离散；对二维拟线性抛物问题，在空间上根据区域的剖分类型的不同，作三角形插值系数有限元或矩形插值系数有限元离散，在时间上作连续插值系数有限元及间断的插值系数有限元离散；深入研究更复杂的高维拟线性抛物问题和非线性Schrödinger方程的插值系数时空有限元方法，对时空有限元求解拟线性Schrödinger方程是否还满足一定守恒律或拟守恒律，将作出深刻地探讨。

本项目针对拟线性抛物微分方程，将插值系数的思想用于时空有限元和有限体积元方法中，对时间和空间都采用插值系数有限元离散，研究插值系数时空有限元方法的高效计算格式，并利用中国学派的单元分析法及其校正技术证明了所研究方法的收敛性。并将其用于图像恢复、分解和重构处理，获得了较理想的效果。.针对稳衡性特定情形，构建了半线性椭圆问题的二次三角形有限体积元的高效算法，研究和完善了插值系数二次有限元法和有限体积元法的数值计算及其收敛性研究。.针对一类具有周期边界条件的一般双曲微分方程问题，研究其间断有限元方法。 通过构造校正函数与插值函数， 获得了间断有限元的逐点和区间平均误差估计等两种超收敛性结果。将插值系数思想用于一类非线性 Volterra-Fredholm积分方程，研究了该类积分方程改进的高效有限元方法。结合牛顿迭代法，推导了方程精确解和逼近解的收敛估计。针对一类半线性奇异摄动两点边值问题，结合插值系数思想，讨论和构建了基于ShiShkin网格的高效有限元迭代算法，研究了所给算法的稳定性和收敛性。利用高效算法的推导和基本思想，获得了微分方程图像修复与分解高效算法。研究了强正则三角剖分的低阶边缘有限元的超收敛性。通过采用平均法，证明了在有限元解和有限元解的旋度的内边缘中点具有O（H^2）阶的超收敛。