非光滑方程的新算法与应用研究

非光滑方程问题主要来源于工程问题求解与经济均衡问题求解等研究领域，在变分不等式问题求解与约束优化问题求解方面也有重要应用。近年来，由于对工程技术问题、微观经济问题等问题的研究不断深入，国内外许多学者都对相关的非光滑方程的数值求解方法产生浓厚的研究兴趣。本申请项目的主要研究内容为利用非光滑函数、极大值函数把极大值方程问题、变分不等式和互补问题转化的非光滑方程问题进行求解研究，设计求解非光滑方程问题的新算法。主要思想为设计高效的非光滑广义拟牛顿法等算法求解，如：非光滑非单调Levenberg- Marquardt算法。同时要求算法能够应用到求解相关的经济、系统控制等问题的数学模型，能应用到求解非线性规划问题、极大值方程问题、变分不等式问题、互补问题。

非光滑方程问题是一类重要的优化问题，该问题来源于工程技术问题、均衡问题、优化控制问题、变分互补问题等问题的求解研究领域。很多实际问题如随机互补问题、变分不等式问题、约束优化问题的KKT条件和很多均衡问题都可以转化为非光滑方程问题。本项目对非光滑方程的新算法与应用进行了研究，研究了极大值方程问题、非线性互补问题、变分不等式问题、非光滑互补问题、广义互补问题、垂直互补问题、特征值互补问题等相关问题的求解算法、算法分析以及相关的数值实验。研究了利用各类非光滑函数把非线性互补问题、非光滑互补问题、特征值互补问题等各类问题转化为非光滑方程的方法，对非光滑方程提出了几类新的Levenberg-Marquardt型方法、非光滑广义牛顿法、光滑梯度法、光滑共轭梯度法等算法。对相关的非光滑优化问题、无约束优化问题等优化问题给出了光滑化梯度法、新型的非线性共轭梯度法等无约束优化算法，分析了算法的全局收敛性，给出了数值实验。对相关的非线性方程问题、线性互补问题等问题进行了求解分析，讨论了在各类非精确线搜索条件下Levenberg-Marquardt方法的全局收敛性等性质。整个项目按照计划书完成，取得了预期的研究成果。在项目执行期间发表科研学术论文14篇，其中Sci索引论文5篇。