非光滑优化的新算法及其应用研究

Combine with the research of optimization theory and applications, the new methods for solving nonsmooth optimization and their applications are mainly studied, which are the finite minmax problems, stochastic complementarity problems, eigenvalue complementarity problems, special nonsmooth equations. By transferring the finite minmax problems to the unconstrained optimization, the conjugate gradient methods and some similar methods can be used to solve the unstrained optimization. The methods need less memory and the calculation is simple and efficient. The research on the structure of the solution and convergence theory of the stochastic nonlinear complementarity problems, stochastic linear complementarity problems is made. The research on the methods for solving discrete stochastic linear complementarity problems is also made, especially on the large-scale stochastic linear complementarity problems under the background of big date. New theory and methods for solving eigenvalue complementarity problems, absolute value equations, stochastic absolute value equations and the applications of solving the smart grid model are considered. The considered methods are nonsmooth quasi-Newton method, smoothing method and filter trust region method.

结合优化理论和实际问题的求解应用研究，主要对非光滑优化问题的新算法及其应用进行研究。对非光滑优化中的极大极小问题、随机互补优化问题、特征值互补问题、特殊非光滑方程问题等进行研究，把极大极小问题转化为无约束优化问题，然后利用计算存储量小、计算简单高效的共轭梯度法等算法来求解。研究随机非线性互补优化问题、随机线性互补优化问题解的结构和收敛理论，求解离散型随机线性互补问题，特别是大数据背景下大规模随机线性互补优化问题的求解算法。考虑非光滑方程问题的新算法理论与算法在求解特征值互补问题、绝对值方程、随机绝对值方程等问题以及智能电网模型等问题求解中的应用研究，研究的求解算法主要为非光滑拟牛顿类算法、光滑化算法与滤子信赖域算法。

非光滑优化问题是一类重要的优化问题，该问题来源于工程技术问题、高维数据分析问题、人工智能问题、统计优化问题等相关问题的研究领域。结合非光滑优化的新算法与应用研究，本项目主要聚焦如下几个方面进行了研究：（1）对含有特殊极大值结构的非光滑方程问题、极大极小问题进行了研究，给出了光滑保守DPRP共轭梯度法、光滑谱共轭梯度法等光滑化算法。利用极大极小转化技术对一类广义多项式互补问题进行了转化求解，给出了光滑共轭梯度法等光滑化算法，相关的数值试验表明了算法的有效性。（2）对线性互补问题、随机线性互补问题、广义随机线性互补问题、随机张量互补问题的理论与求解方法进行了研究，给出了投影Levenberg-Marquardt型方法、Levenberg-Marquardt型方法、投影信赖域算法以及投影梯度法等新算法，相关的数值试验表明了算法的有效性。（3）对非光滑绝对值方程问题进行了研究，给出了广义绝对值方程问题、张量绝对值方程问题、对称张量绝对值方程问题的模型与转化求解方法。对张量互补问题进行了研究，分析了与算法分析密切相关的误差界性质，给出了求解张量互补问题的混合整数规划算法，相关的数值试验表明了算法的有效性。（4）研究了特殊结构范数优化问题、传感压缩问题、智能电网问题等问题的求解方法，结合光滑技术，给出了光滑化共轭梯度类算法等求解算法。结合具体的问题求解，相关的数值试验与仿真表明了算法的有效性。结合项目研究进展以及研究论文、学术交流、人才培养等计划书中的工作，完成了非光滑优化的新算法及应用的所有工作计划，取得了预期的研究成果。