非经典耗散方程的谱方法与动力学研究

非经典耗散（异常耗散）现象大量出现在自然界，一个很典型的例子是Brown运动。经典的耗散算子不能准确描述像随机游走这样的物理现象，分数阶耗散算子被用来刻画单个粒子的运动轨迹，亚耗散和超耗散被发现。用来描述异常耗散的是分数阶微分动力系统。近年来，分数阶微分方程被广泛地应用于生物信息、材料物理、流体力学等诸多应用学科及工程领域。.为了理解分数阶耗散系统的动力学行为，一方面通过设计高精度数值计算方法- - - - 谱方法，对特殊系统的动力学行为进行数值模拟，利用数值实验来验证系统可能有的性态，并发现系统所蕴涵的不为人知的动力学，得到非经典耗散与经典耗散之间的联系；另一方面利用动力系统理论的吸引子方法，从理论上证明某些系统的长时间动力学，得到某些具体的吸引子的存在性与稳定性。

在复杂系统的传输动力学的研究中，异常耗散（也叫非经典耗散）和非指数松弛模型常用分数阶微分方程来描述。空间/时间分数阶耗散方程、具源和沉的分数阶对流耗散方程以及分数阶Fokker-Planck方程是最为重要的三类。本项目研究非经典耗散系统的高精度数值方法和系统的长时间动力学行为。其一、建立了的若干方程的高精度数值方法，这些方程包括分数阶Fokker-Planck方程、一类非经典抛物方程、广义的Benjamin-Bona-Mahony-Burgers方程、广义的RLW方程以及分数阶耗散方程。其二、研究了指数吸引子、拉回指数吸引子等概念，建立个半群的指数吸引子存在的充分必要条件，以及过程的拉回指数吸引子存在的充分条件，得到了非自治系统的拉回指数吸引子存在性结果。这些结果在理论上极大地丰富了非经典耗散系统的研究成果，为工程实践提供指导，并为进一步的深入研究奠定了基础。