微分和积分方程的谱方法与谱配置方法

Spectral methods possess high-order accuracy, and have been widely applied to numerical simulations of various problems arising in science and engineering. However, the classical spectral methods are still facing many difficulties and challenges. For instance, the Laguerre spectral method, the Jacobi spectral method and the Jacobi rational spectral method are usually restricted by parameter conditions, which lead to the lack of flexibility or the inconvenience of theoretical analysis; in addition, the spectral collocation methods for singular problems have not been systematically studied. In this proposal, we investigate several difficult problems, such as the generalized Laguerre spectral method, the generalized Jacobi spectral method and the generalized Jacobi rational spectral method with any real arguments; the multiple interval Legendre-Jacobi spectral collocation methods for Volterra integral/integro-differential equations with weakly singular kernels; and the multiple interval Legendre spectral collocation methods for nonlinear Volterra functional integro-differential equations with delays. They will further expand the basic theories of spectral methods and enrich the numerical methods of differential and integral equations.

谱方法具有高精度，已广泛应用于科学和工程中有关问题的计算。但经典的谱方法在实际应用中面临着诸多困难和各种挑战，如Laguerre谱方法、Jacobi谱方法和Jacobi有理谱方法等通常会受到参数条件的制约，或灵活性不足，或理论分析不便；此外，对于奇性问题的谱配置方法研究，尚不够系统。为此，本项目主要研究带任意实参数的广义Laguerre谱方法、广义Jacobi谱方法和广义Jacobi有理谱方法，带弱奇异核的Volterra积分和积分微分方程的多区间Legendre-Jacobi谱配置方法，以及带时滞项的非线性Volterra积分微分方程的多区间Legendre谱配置方法。这些问题的解决将在一定程度上拓展谱方法的基础理论，发展和丰富微分和积分方程的数值解法。

经典的谱方法在实际应用中面临着诸多困难和各种挑战，如Laguerre谱方法、Jacobi谱方法和Jacobi有理谱方法等通常会受到参数条件的制约，或灵活性不足，或理论分析不便；此外，对于奇性问题的谱配置方法研究，尚不够系统。本项目主要研究了带任意实参数的广义Laguerre谱方法、广义Jacobi谱方法和广义Jacobi有理谱方法，带弱奇异核的Volterra积分和积分微分方程的多区间Legendre-Jacobi谱配置方法，以及带时滞项的非线性Volterra积分微分方程的多区间Legendre谱配置方法。.所取得的部分重要结果：将经典的Laguerre函数（参数大于0）推广到任意实参数情形，并研究了其有关性质；引入了多种新的正交或双正交的基函数，包括Sobolev正交或双正交的Legendre、Chebyshev、Jacobi、Laguerre、Hermite和Jacobi有理基函数，并研究了其相关性质；提出并系统地分析了带弱奇异核的Volterra积分和积分微分方程的多区间谱配置方法，获得了hp最优收敛性估计。上述工作丰富了谱方法的基本理论，拓展了谱方法的应用范围，并为其进一步发展带来了活力。