实半单李群的轨道方法

In this project, we try to "quantize" the nilpotent orbits of real reductive nilpotent Lie groups. R. Brylinski has quantized the minimal nilpotent orbits of real semisimple Lie group of non-Hermitian type. Base on the work of L. Yang, we want to generalize Brylinski's results to spherical nilpotent orbits. Since the invariant Lagrangian foliation may not exist for nilpotent orbits of simisimple Lie group, W. Graham and D. Vogan introduce the Lagrangian covering and transfer the quantization problem to certain degenerate principal series. In the case of complex semisimple Lie groups, these coverings corresponding to the orbital varieties. In the case of real simisimple Lie group, Vogan point out that the Lagrangian coverings should be exist for nilpotent orbits. We want to classify these Lagrangian coverings for spherical nilpotent orbits, and study the degenerate principal series attached to it. Then comparing the representations obtained above, we wish to find an appropriate candidate for unipotent representation.

本项目主要研究幂零轨道的"量子化"，通过对不同的unipotent表示的性质进行分析对比，找到恰当的幂零轨道量子化的方式。首先是研究R. Brylinski的构造方法，基于申请人之前的工作，把R. Brylinski的结果推广到实半单李群的spherical幂零轨道。其次通过对spherical幂零轨道的Lagrangian覆盖的分类，研究W. Graham和 D. Vogan构造的degenerate principal series的子表示的结构以及unitarity性质。最后比较两种不同构造方法得到的表示的关系。

不可约酉表示的分类类是表示论的核心问题之一，到目前为止，我们已知的结果很少。基于幂零李群以及可解李群还有复的典型李群的酉表示的分类结果。很多专家认为实的约化李群的酉表示的分类也应该有轨道方法。David Vogan在1986年的国际数学家大会上的报告提出对实半单的约化李群也有轨道方法。最后把这类李群的酉表示的分类归结到幂零轨道的量子化。但是大多数幂零轨不满足几何量子化所必须的上同调的条件，因此如何把这些轨道量子化是一个重要的问题。.Vogan提出量子化得到的酉表示和原来轨道的某些不可约的向量丛的整体截面会有一些关系，在满足一些条件的时候他们作为极大紧子群的表示应该是同构的。进一步，Vogan提出应该是对这幂零轨道的闭包进行“量子化”。.该项目主要研究U(p,q)的幂零轨道的量子化的问题。我们分成两步考虑，第一步是对幂零轨道的几何性质进行研究。我们利用Kraft-Procesi resolution来对幂零轨道进行消解。通过计算消解后的轨道的维数，我们发现是complete intersection.再利用G. Zwara的结果，我们发现消解后的簇是满足regular in codimension 1的条件的。从而消解后得到的代数簇是normal的。因此它商去一个约化李群还是normal的，这样我们就得到u(p,q)所有的幂零轨道的闭包都是normal的。.第二步，我们需要把这些轨道量子化。也就是找到适当的酉表示使得它的K-finite向量与指定的幂零轨道的向量丛的整体截面同构。基于朱程波与R. Gomez的结果，我们知道在不满足stable range的条件时，也可以通过theta lifting构造适当的表示使得他的associated variety是我们指定幂零轨的闭包。但是目前对这些表示更精细的性质还没有得到。