紧半单李群上左不变爱因斯坦度量和测地轨道度量的研究

Einstein manifolds and geodesic orbit manifolds have been the focus of research in homogeneous differential geometry in recent years. In the past decade, with the joint efforts of many scholars, it can be proved that there are non-naturally reductive Einstein metrics on compact simple Lie groups except for some low-dimensional compact simple Lie groups. However, little is known about the existence of general non-naturally reductive Einstein metrics on compact semisimple Lie groups. For geodesic orbit metrics on compact simple Lie groups, all known examples are naturally reductive. Considering the present situation, we focus on the following three aspects: 1. Constructing non-naturally Einstein metrics on compact semi-simple Lie groups; 2. Constructing non-naturally reductive geodesic orbit metrics on compact semi-simple Lie groups; 3. Constructing geodesic orbit metrics on homogeneous space with compact semi-simple isometry groups. Based on the classification of isotropy irreducible spaces, we will decompose semi-simple Lie groups, construct corresponding metric forms, derive corresponding homogeneous Einstein equations, and obtain non-naturally reductive Einstein metrics by discussing the roots of the equations. On the other hand, we will deduce the equivalent algebraic characterization of geodesic orbit metrics on compact semi-simple Lie groups. Combining with the specific algebraic structures, we will discuss the existence of non-naturally reductive geodesic orbit metrics.

爱因斯坦流形和测地轨道流形一直是近年来齐性微分几何的重点研究对象，最近十多年里，在许多学者的共同努力下，可以证明除个别低维的紧单李群外，其余紧单李群上均存在非自然约化的爱因斯坦度量。然而，对于紧半单李群上一般的非自然约化的爱因斯坦度量的存在性我们却知之甚少。而对于紧单李群上的测地轨道度量，目前已知的例子均是自然约化的。综合这样的研究现状，我们重点考虑以下三个研究内容：1.构造紧半单李群上非自然约化的爱因斯坦度量；2.构造紧半单李群上非自然约化的测地轨道度量；3.构造拥有紧半单等距群的齐性空间上测地轨道度量。我们将基于迷向不可约空间的分类，对半单李群进行分解，构造相应的度量形式，推导出相应的齐性爱因斯坦方程组，通过对方程组根的讨论，构造非自然约化的爱因斯坦度量；另一方面，我们将推出紧半单李群上测地轨道度量等价的代数刻画，结合具体代数结构，讨论非自然约化测地轨道度量的存在性。

本项目的主要研究内容为紧齐性空间上的Einstein度量和测地轨道度量的构造和分类。现有文献中，诸多典型的齐性空间上这两类度量的分类结果均已给出。在本项目中，我们重点研究了以下几个问题：.(1) 研究Stiefel流形上的Einstein-Randers度量的构造；.(2) 研究半单型等距群的齐性空间上的测地轨道度量；.(3) 研究具有中间子群的等距群的紧齐性空间上的测地轨道度量；.(4) 研究紧齐性空间上Randers测地轨道度量的结构；.(5) 研究了紧单李群Sp(n)上非自然约化的Einstein度量的下界。.并取得了如下成果：.[1] 在Stiefel流形等紧齐性流形上Einstein-Randers度量的构造方面，我们取得了系列成果，相关结果发表在 Publ. Math. Debrecen和Results Math.杂志上。.[2] 给出了由迷向不可约空间构造的一类新的具有半单型等距群的紧齐性空间上测地轨道度量的完全分类，证明了测地轨道度量一定是自然约化度量，相关结果发表在Sci. China Math.杂志上。.[3] 给出了具有中间子群的等距群的紧齐性空间上的测地轨道度量的充分条件和必要条件，作为应用，给出了由迷向不可约空间诱导的底空间上的测地轨道度量的完整分类，相关结果接收在了Manuscripta Math.杂志上。.[4] 我们具体刻画了紧齐性空间上Randers测地轨道度量的结构，给出了其导航数据的进一步刻画，作为应用，我们给出了两个迷向和的紧齐性空间和单迷向子群的紧齐性空间上Randers测地轨道度量的完整分类，相关结果发表在了Differential Geom. Appl.杂志上。.[5] 我们给出了紧单李群Sp(n)上非自然约化的Einstein度量数量的下界，相关结果发表在了Front. Math. China， Acta Math. Sci. Ser. B (Engl. Ed.)和 Czechoslovak Math. J.杂志上。.我们提供了大量的黎曼Einstein度量、Einstein-Randers度量、黎曼测地轨道度量和Randers测地轨道度量的例子，这些例子将有助于人们更好地理解和认识齐性Einstein-Randers度量和测地轨道度量的结构和存在性，为人们研究微分流形上这两类度量的性质和分类提供有效的素材。