插值型多小波框架及其在信号稀疏表示中的应用

近年来，在压缩传感等新兴理论的推动下，信号的稀疏表示及其应用研究开始为学界所关注，而Fourier变换、小波变换等时频域变换工具则成为目前获取信号稀疏表示的主要手段。那么就获取信号稀疏表示的方法而言，是否存在有形式更灵活、性能更好的数学工具呢？参考近年来小波分析理论的发展成果，本项目拟开展兼具插值性和对称性的多小波框架构造，以此来获得更丰富的时频域变换工具，为深入开展面向应用研究的凸优化模型设计提供工具和基础，为把信号稀疏表示及其应用研究推向深入进行更多的有益尝试。特别地，近年的研究成果表明插值型尺度函数向量可以兼具对称性、光滑性等数学性质，这亦为构造具有良好性质的插值型多小波框架奠定了基础。

近年来，压缩传感等新型理论的出现有力的带动了有关信号稀疏性的计算科学及其应用研究的发展，而所谓“获取数据稀疏表示”则更为本质的解读了数据处理中常用的包括经典 Fourier 变换、小波变换等时频域变换工具的工作原理，也为数学计算研究的发展提供了依据和参考。在这一大背景的影响下，针对如何构造和发展数学的算法分析工具来更有效的获取数据稀疏表示，则成为本项目关注的重点议题。基于参考多尺度分析理论的发展，本项目通过应用兼具对称性的Hermite插值型尺度函数向量及其多小波，积极参考和借鉴相关领域里的新型数学工具(如Kernel regression、Dictionary learning、Bilaterial等)，用字典的观点对传统的多尺度分析方法进行了新的解读，并尝试将字典学习的观点引入到多尺度分析，来现有的理论方向进行提升和改进，发展围绕数据稀疏性的多尺度算法研究。同时，在项目的支持和帮助下，我们也与物理学科建立了联系和合作，尝试将我们的数学工具应用到特定的成像应用技术研究中，实现理论与应用的互动发展。