Transmission 特征值及其相关逆散射问题的研究

In recent years, transmission eigenvalues have become an important area of research in inverse scattering theory, and transmission eigenvalue problem plays a central role in the qualitative approach to inverse scattering theory. In this project, we consider three main problems related to the transmission eigenvalues: (1) the distribution of exterior transmission eigenvalues. (2) the existence of the exterior transmission eigenvalues. (3) the related exterior scattering problem, i.e., the point source is placed inside a cavity, we consider the penetrable scattering problem. Based on the research to the simple case -- isotropic medium problem, then we will study more complicated case such as anisotropic medium problem. The main method will be used is the boundary integral equation method.

近几年来，Transmission 特征值问题已经成为逆散射问题中一个非常重要的研究课题，它是应用定性理论方法来研究逆散射问题的中心问题。我们将围绕外Transmission 特征值问题开展研究工作。具体来说，我们主要考虑如下三个方面的问题：(1) 外Transmission 特征值的分布情况，即如果外Transmission 特征值存在的话，它的分布是怎样的。(2) 外Transmission 特征值的存在性，即寻找相应的外Transmission 特征值问题的非零解。(3) 与外Transmission 特征值问题相关的散射问题，即点源放在一个空腔体之内，散射波穿透障碍物边界的散射问题。我们将先从各向同性（isotropic）介质的情形出发，逐步研究各向异性（anisotropic）介质，以及更加复杂的情形。 我们拟主要采用边界积分方程的方法来研究上述问题。

项目背景：.该项目所考虑的逆散射问题是指：从远场信息（或者近场信息）出发，重构散射体的形状，以及相关的重要参数。近年来，在逆散射问题的研究中，定性理论及其应用发展迅速，并由此产生了一些比较好的数值模拟的方法，例如，Linear Sampling Method和Factorization Method。在这些定性方法的数学基础理论分析中，远场算子或者近场算子必须具有一些重要的性质，比如，紧性，单射性，具有稠密的值域等性质。.对于非均匀介质（inhomogeneous medium）的散射问题，相应的远场算子或者近场算子如果要具备上述的一些性质，其相应的波数不能是相应的Transmission 特征值。因此，Transmission 特征值的研究对于此类问题来说就显得非常重要。.Transmission 特征值问题已经成为逆散射问题中一个非常重要的研究课题，它是定性理论方法研究逆散射问题的中心问题。..主要研究内容：.我们主要围绕外Transmission特征值问题开展研究工作，包括外Transmission特征值的离散性和存在性，以及与外Transmission特征值相关的散射问题。具体来说有下面三个方面的内容：.(i).外Transmission 特征值的离散性，即如果外Transmission 特征值存在的话，它的分布一定是离散的。 (ii).外Transmission 特征值的存在性，即寻找相应的外Transmission 特征值问题的非零解。 (iii). 与外Transmission 特征值问题相关的散射问题，即点源放在一个空腔体之内，散射波穿透障碍物边界的散射问题。..重要结果：.在项目的资助下，在这四个年度发表论文15篇(均为SCI杂志)，课题组成员多次参加相关的学术会议，邀请相关专家访问研究，增强了与同行之间的交流与合作。同时，在此期间，培养博士研究生5名，其中2名已经毕业。培养硕士研究生16名，其中9名已经毕业。..科学意义：.这些研究结果的获得，可以使我们更加全面的了解外Transmission 特征值的基本特征，以及它与相关的一些穿透散射问题的深层次关联性。