四方曲线与孤子方程的拟周期解

The principal aim of this project is to study the theory of tetragonal curves and the application to integrable systems. We explore a theoretical framework to construct quasi-periodic solutions of soliton equations associated with 4×4 matrix spectral problems. It is studied that the Lax matrices associated with 4×4 matrix spectral problems lead to tetragonal curves and four-sheeted Riemann surfaces by their compactification. We discuss the properties of the Baker–Akhiezer functions and meromorphic functions on the four-sheeted Riemann surfaces. Then we introduce generalized elliptic variables and give that they satisfy the equations. A basis for holomorphic differentials and Abel maps are constructed on the four-sheeted Riemann surfaces. The asymptotic expansions for three kinds of Abel differentials are investigated near infinite points and zero ones. On basis of the divisors of meromorphic functions and their algebraic and geometric structures, we derive the Riemann theta function representation for meromorphic functions and Baker–Akhiezer functions. The Riemann theta function representations of solutions for soliton hierarchies associated with 4×4 matrix spectral problems are obtained by using the expansions of the Riemann theta function representations for the Baker–Akhiezer functions and meromorphic functions near infinite points. As applications, quasi-periodic solutions of some soliton hierarchies associated with 4×4 matrix spectral problems are derived.

本项目研究四方曲线的理论及其在可积系统中应用，探索求解与4×4矩阵谱问题相联系的孤子方程族拟周期解的理论框架。研究与4×4矩阵谱问题相联系的孤子方程族的Lax矩阵导出的四方曲线及其紧化产生的四叶Riemann面。讨论四叶Riemann面上的Baker–Akhiezer函数和亚纯函数的性质。引入广义椭圆变量并讨论它们满足的方程。构造相应四叶Riemann面上一组全纯微分基和Abel影射。研究三类Abel微分在无穷远点和零点的渐近式。基于亚纯函数的因子及其代数几何结构，构造亚纯函数和Baker–Akhiezer函数的Riemannθ函数表示。计算Baker-Akhiezer函数与亚纯函数及其Riemannθ函数表示在无穷远点的展式，进而得到与4×4矩阵谱问题相联系的孤子方程族解的Riemannθ函数表示。作为上述方法的应用将导出一批与4×4矩阵谱问题相联系孤子方程族的拟周期解。

本项目的主要目标是研究四方曲线的理论及其在可积系统中的应用，探索求解与4×4矩阵谱问题相联系的孤子方程族拟周期解的理论框架及应用。我们研究了与4×4矩阵谱问题相联系的Lax矩阵特征多项式产生的四方曲线和紧化给出的四叶Riemann面,并建立了四方曲线的理论。引入Baker-Akhiezer函数和亚纯函数并探讨它们的性质。构造相应四叶Riemann面上一组全纯微分基和Abel影射。研究三类Abel微分在无穷远点和零点的渐近式。基于亚纯函数的因子及其代数几何结构，构造亚纯函数和Baker-Akhiezer函数的Riemannθ函数表示。计算Baker-Akhiezer函数与亚纯函数及其Riemannθ函数表示在无穷远点的展式，进而得到与4×4矩阵谱问题相联系的孤子方程族解的Riemannθ函数表示。作为应用获得了与4×4矩阵谱问题相联系的Satsuma-Hirota方程族、耦合Boussinesq方程族、Bogoyavlensky格2(3)方程族和Blaszak-Marciniak 4-场晶格方程族等的拟周期解。将非线性最速下降法扩展到研究与4×4矩阵谱问题联系的孤子方程并获得了Gross-Pitaevskii方程、耦合Sasa-Satsuma方程、Hermitian对称空间Fokas-Lenells 方程、广义Sasa-Satsuma方程、耦合非线性Schrödinger方程组等的Cauchy问题解的长时间渐近。把反散射变换和Riemann-Hilbert方法应用到求解一些孤子方程并获得它们的N孤子解。我们把Lax对的Riccati方程作为工具，发展了一个系统的一般性方法构造与高阶谱问题和结构复杂的谱问题相联系的孤子方程的Darboux变换。利用这一方法，我们成功地导出与高阶矩阵谱问题和非对称性高阶矩阵谱问题相联系的一类广义向量非线性Schrödinger方程、一类矩阵长短波方程、一类新的向量长短波方程模型等的孤立子解、呼吸子解、怪波解。将代数几何方法与Darboux变换相结合，提出了构造与高阶谱问题相联系孤子方程精确周期背景解的系统方法，获得到了Yajima-Oikawa长短波方程的周期背景怪波解和周期背景呼吸子解以及向量Geng-Li模型的一些精确解并揭示了两种新的非线性现象。