几类广义正则半群、作用和范畴及其在圈积和图中的应用

Since the 1970s, the generalized regular semigroup always has been an important subject of the semigroup research. This project studies some attractive classes of generalized regular semigroups in the present international research field of semigroups- - （ finite ）abundant semigroups ( for example, type B semigroups, etc ), weakly abundant semigroups, semi-abundant semigroups and E-inversive semigroups which satisfy some conditions ( for example, E-inversive abundant semigroups, etc ), and considers some acts and categories of them. Furthermore, we shall consider combining them with other cross-cutting disciplines( for example, a combination of semigroups and graphs, etc ) which will form a major feature of our research contents. The followings are specific contents:..(1)study semigroup structures, translational hulls of the above semigroups, and give descriptions of semigroup congruences of such semigroups by using a new "Kernel-trace" method and a new "U-V relation" method;..(2)study some acts ( for example, partially ordered acts, flat acts, etc ) and categories of the above semigroups with an identity element by using category theories in homological algebra;..(3)consider wreath product constructions of the above monoids in algebraic automata theory, and study some applications of them in graph theory ( for example, describe combinatorial problems connected with graphs by using monoid actions and wreath products, etc )...The above studies can not only greatly enrich the algebraic theory of semigroups, but also have important application value in homological algebra, automata theory, graph theory, etc.

自上世纪70年代以来，广义正则半群一直是半群界研究的重要课题。本项目研究目前国际半群界极具吸引力的几类广义正则半群- - （有限）abundant半群（如type-B半群等）、弱(半)abundant半群及满足一定条件的E-可逆半群（如E-可逆abundant半群等），并研究其各种作用和范畴理论，且与其它交叉学科结合（如半群和图结合等），从而形成研究内容上的一大特色。具体为：（1）研究上述几类半群的结构、平移包，并通过引入一种新的核-迹法和U-V关系法来进行这类半群同余刻画等；（2）利用同调代数中范畴论研究含幺元的上述几类半群的各种作用(如部分序作用、平坦作用等)及幺半群范畴等；（3）研究上述几类幺半群在自动机理论中的圈积构造及在图中的应用(如利用相关幺半群作用和圈积来刻画与图有关的组合问题等)。以上研究不仅可极大地丰富半群代数理论，而且在同调代数、自动机理论、图论等领域有着重要的应用价值。

自上世纪70年代以来，广义正则半群一直是半群界研究的重要课题。本项目研究了目前国际半群界极具吸引力的几类广义正则半群——（有限）abundant半群（如type-B半群、ample半群等）、弱(半)abundant半群及满足一定条件的E-可逆半群（如E-可逆abundant半群、弱型B半群等），并研究其各种作用和范畴理论，且与其它交叉学科结合（如半群和图结合等），从而形成研究内容上的一大特色。具体为：.（1）研究了上述几类广义正则半群的结构、平移包、断面并通过引入一种新的核-迹法和U-V关系法来进行这类半群同余刻画等。在研究这些半群的结构和同余刻画的同时，这些研究反过来对正则半群上的同余刻画起着很好的借鉴作用。 比如研究自由单演逆半群上的同余核——迹问题。又如用半群代数理论中自然偏序定义结合半直积研究了一类F-逆半群和其它几类E半群，取得了重要突破；.（2）利用同调代数中范畴论研究了含幺元的上述几类半群的各种作用(如ample幺半群的部分序作用、平坦作用等)及幺半群范畴等。对ω-双单type B幺半群作了初步研究，取得了一些重要研究进展；.（3）研究了上述几类幺半群在自动机理论中的圈积构造及在图中的应用(如利用相关幺半群作用和圈积来刻画与图有关的组合问题等)。在半群和图的结合研究中，主要还是考虑半群的cayley图和广义cayley图问题。特别地，在进行半群和图的结合的研究过程中，促使了图论本身领域的研究，得到了一些重要结果。比如：通过幺半群表示的图扩张，我们给出了一类ample幺半群的新刻画。此外，课题组部分成员，通过对半群理论和图的结合研究，进一步发展了图的其他理论，得到了一些重要结果。.（4）利用半群代数的方法，研究了上述几类广义正则半群的模糊理论，得到了一些交叉结果。.以上研究不仅可极大地丰富半群代数理论，而且在同调代数、自动机理论、图论、密码学等领域有着重要的应用价值。