粘性液体-气体两相流模型数学理论的研究

粘性液体-气体两相流模型可视为石油工业中描述管道和深井中油和气的生产和输运的简化模型。该模型不仅具有深刻的物理意义，而且也具有重要的数学理论价值。关于其研究近十多年来一直是本领域的热点问题, 有许多关于该模型及其相关模型的数值结果，但对于解的存在性、 唯一性、正则性及渐近性态的结果却很少。本项目将系统地研究用于模拟油井中井涌现象的一维粘性液体-气体两相流模型自由边界问题弱解的整体(或局部)存在性和唯一性，其中在自由边界处流体连续连接到真空，这里假设两流体的速度不相等。研究二维和三维粘性液体-气体两相流模型初边值问题和Cauchy问题解的存在性、唯一性、正则性、爆破现象等，建立初始时刻无真空和有真空两种情形下强解的爆破准则，并进一步考虑初始有真空情形下Cauchy问题强解（或光滑解）的整体存在性和唯一性。

本研究项目的结果主要包括粘性液体-气体两相流模型解的适定性理论。.首先对于高维粘性液体-气体两相流模型的初边值问题(或Cauchy问题)，建立了在初始无真空和有真空两种情形下局部强解的爆破准则；研究了三维粘性液体-气体两相流模型Cauchy问题解的适定性，得到了在初始有真空情形强解和经典解的整体存在性；研究了高维粘性液体-气体两相流模型的周期问题，当马赫数趋于零时，得到了该问题的局部经典解趋于不可压缩Navier-Stokes方程的局部经典解，并得到了关于马赫数的衰减速度。在第二方面，研究了两流体速度不相等的一维粘性液体-气体两相流模型，得到了其自由边界问题弱解的局部存在性和唯一性；在此基础上，进一步研究了一维非守恒粘性液体-气体两相流模型，得到了其初边值问题和Cauchy问题强解的整体存在性。