可压缩Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck方程及相关模型解的适定性

Compressible fluid-particle interactions model, arising in fluid dynamics and other related subjects, has applications to biotechnology, chemical engineering and other fields. Mathematically, the model consists of compressible Navier-Stokes equations coupled with Vlasov-Fokker-Planck/equations. Therefore doing research on the model is not only good for establishing its mathematical theory but also for possibly making the mathematical theory for compressible Navier-Stokes equations and related models more complete. There are only a few mathematical results on the model. In this project, we will use energy method, weak compactness arguments and spectrum analysis to study the well-posedness and hydrodynamic limit of the compressible Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck equations and its macroscopic model.

粒子和可压流体相互作用模型来源于流体力学等应用学科，出现在生物技术和化学工程等应用领域中。数学上，该模型由可压缩Navier-Stokes方程和Vlasov-Fokker-Planck方程耦合而成。因此，对该模型的研究不仅可以建立关于其自身的数学理论，还有可能完善可压缩Navier-Stokes方程以及相关模型的数学理论。目前对该模型的研究还不多，本项目将综合运用能量方法、弱收敛方法以及谱分析方法等研究可压缩Navier-Stokes方程耦合Vlasov-Fokker-Planck方程以及对应宏观模型解的适定性以及流体动力学极限等问题。

描述粒子流体混合物运动的数学模型来源于流体力学等应用学科，在生物技术、药学、化学工程等应用领域中有重要的应用。数学上，对该模型的研究目前还不多。本项目综合运用了能量方法、弱收敛方法和傅里叶分析等方法在其宏观模型弱解的整体存在性、初边值问题经典解的整体适定性以及解的最优衰减估计等问题上取得了一些进展。具体如下：证明了一维具有单调压力和非单调压力的宏观两相流模型弱解的存在性以及粘性依赖于密度的一维宏观两相流模型的初边值问题经典解的整体存在唯一性；证明了高维初边值问题和Cauchy问题经典解的整体存在唯一性；获得了高维模型Cauchy问题解的最优衰减估计等；此外，还对可压缩Navier-Stokes方程组的边界层问题、可压缩Navier-Stokes-Maxwell方程组和Euler方程组等流体方程波的稳定性和解的最优衰减估计、生物模型解的整体存在性等问题也获得了一系列的研究成果。共发表学术论文27篇。