多维随机相依系统的建模与分析

在过去的几十年里, 各种各样的生产、通信、服务系统变得越来越复杂。为改进整个系统的效率和工作性能,人们给出了各种强调合作、同步、同时操作的方案和模型。同步现象给系统性能的分析带来了困难。本项目旨在进一步研究这种多维相依随机系统的性能和建模。加权树超优、随机比较、带图结构的Vine copula 是我们开展这一工作的主要工具。本项目的研究内容包括进一步完善和发展加权树超优理论，特别是建立加权树Schur 凸 和 Schur凹函数的性质；利用加权树超优和随机比较理论探讨同步输入现象的严重程度或系统内部的某种相依结构对随机系统性能的影响程度；基于带图结构的 Vine copula 对系统输出变量建模与分析。本项目的意义在于了解由于相依性质带给系统的各种好的坏的性能表现，可以为我们控制、决策和改进系统的性能和设计服务所需要的适应系统做出正确的选择，并提供良好的理论依据。

本项目旨在从超优、统计相依和随机比较的角度来研究多维随机相依系统的随机性质，主要侧重于随机比较理论及其应用、复杂系统签名档的计算、多维相依系统风险分析，和基于正则Vine copula 的相依建模和软件开发这四个方面。具体地，（1）我们从微观层面来研究位置独立风险序、剩余财富序和总试验时间变换序的许多深层次的性质，给出了这几种序的产生过程；在秩相依的期望效用模型下，给出了无界的左（右）单调风险和单调风险的刻画。问题的解决需要探讨更为精细的收敛性问题。这种从微观层面研究随机序代表了未来这一领域研究的一个方向。我们基于超优理论用统一的观点去研究独立同分布和独立但不必同分布的非负随机变量的线性组合或一般函数在不同随机序意义下的随机比较；给出了基于凸序对同单调相依结构刻画的一个新证明，该证明中取消了文献中对底概率空间非原子以及边际分布连续的假设。（2）系统签名档能够反应系统的结构特征，寻找复杂系统签名档简单有效的计算方法是非常有意义。我们针对由若干子系统组成的k/n复杂系统（特别，并联或串联），提出了先计算子系统的签名档，再计算复杂系统的签名档的思想，给出了具体的计算公式，同时将该思想拓展到系统二维签名档的计算。这些公式的建立会在很大程度上降低一些复杂系统签名档计算的难度和工作量。（3）一阶Karamata定理是极值理论中研究正则变差的一块基石，我们完整地建立了二阶Karamata定理，并给出了该定理的应用；进一步研究了边际风险尾部性状以及风险间相依强弱程度是如何交互作用，如何影响聚合相依风险的尾部性状。二阶正则变差为我们研究某些极限性质的二阶逼近（即收敛速度）提供了一个非常好的理论平台，我们系统研究二阶正则变差函数的性质，并在仅有的二阶正则条件下得到了常见的一些风险度量及其相应的风险浓度的渐近行为(二阶逼近)。（4）在基于R-Vine模型性质、统计推断以及抽样理论的研究基础上，我们开发了一款R-Vine统计建模软件“pyvine”。 在该软件中，我们采用Python 和Fortran语言来实现，区别于已有的采用了C和R语言实现的软件包。另外，在pyvine中我们利用图论的方法理解R-Vince的结构并实现R-Vine的相关建模、抽样和检验算法。本项目的研究成果将有助于人们更好地理解模型、掌握模型和应用模型。