聚合物溶液流体中的可压缩宏观-微观耦合系统的适定性与奇异极限问题

The proposed project aims at studying the compressible model for micro-macro polymeric fluids.We mainly learn the singular limit of the model and its local well-posedness，blow-up criterion，global existence and the decay of solutions in Besov space. Firstly, by using Hilbert expansion, Besov space theory, Moser inequality and other related techniques, and noting the cancellation relations of the equations, we want to confirm that the limit equation of the system is Navier-Stokes equation when Deborah number and Mach number both tend to zero. Secondly, we study the local well-posedness, blow-up criterion, global well-posedness and decay of strong solutions in inhomogeneous Besov space. Finally, according to the scaling invariance, we anticipate finding a homogeneous critical Besov space matching the system. In this space, we will study the local well-posedness and the global existence. These studies will help us to understand the structure of the model and the relationship between the model and incompressible Navier-Stokes equation.

本项目主要研究微观-宏观相耦合的可压聚合物溶液流体，我们主要研究该系统的奇异极限问题和其在Besov空间中的适定性，爆破机制和衰减问题。首先，利用Hilbert展开，Besov空间理论，Moser不等式等技术，并且注意到方程本身的消去律，我们希望得到当Deborah数和Mach数同时趋于零时该系统的极限方程为不可压Navier-Stokes方程。另外我们还研究了该系统在非齐次Besov空间中的局部适定性，爆破机制，整体适定性以及强解的衰减问题。除此之外，我们希望利用系统的Scaling不变性找出和该系统匹配的齐次临界的Besov空间，在此空间中，我们将会研究解的局部适定性以及整体存在性问题。这些数学问题的研究将有助于我们更好的认识微观-宏观相耦合的可压聚合物溶液流体系统的结构，以及该系统和宏观的Navier-Stokes方程之间的关系。

本项目主要研究微观-宏观相耦合的可压聚合物溶液流体系统，这类模型是偏微分方程研究的热门领域，具有实际的物理意义。我们主要研究该系统的奇异极限问题和其在Besov空间中的适定性。我们首先得到了微观-宏观相耦合的可压聚合物溶液流体系统在低正则的非齐次Besov空间中的适定性,利用带微观形式的littlewood-Palay分解，带微观maxwellian权的poincare不等式，通过能量估计并注意到宏观-微观系统中天然的消去律，我们得到了该系统在低正则性临界非齐次Besov空间中的适定性。然后我们对该系统做 Hilbert 展开，得到了余项方程，我们从前两个余项方程中找到类声波方程的结构，这类结构具有很强的奇异性，我们应用 Strichartz 估计来解决这个问题，最终得到了ε的二分之一阶的收敛估计。