对称张量特征值问题的优化算法及应用

The tensor eigenvalue problem is a fundamental problem in applied mathematics and engineering. It has found many across-discipline applications in such areas as automatic control, magnetic resonance image, and quantum physics, to name but a few. It is attracting more and more attention of scientific researchers and industrial practitioners within and outside China. However, due to the difficult nature of this problem, the effective algorithms with good theoretical properties together with satisfactory numerical performance for this problem remain very limited at the current stage. The purpose of this project is to study and develop certain efficient algorithms for the eigenvalue problem of the symmetric tensor in the view of the nonlinear programming and polynomial programming, and to extend the results out of this project to both the theory of tensor and the various real-world problems. The main researches are as follows: ① A Newton-style subspace projection algorithm and sequential quadratic programming method will be proposed to find the largest Z-eigenvalue of symmetric tensors based on the subspace projection algorithm; ② New algotithms will be developed to find the k largest Z-eigenvalues of symmetric tensors with the help of polynomial programming, so do H-eigenvalues and D-eigenvalues; ③ These methods will be further employed to construct algorithms to seek the canonical form of fourth-order symmetric tensor and the distance between a point and the algebraic hypersurface defined by fourth-order symmetric positive definite tensors; ④ The investigation of the relationship between the quantum eigenvalue of tensors with the quantum eigenvalue of basis in quantum information processing will also be considered in this project, and some new algorithms for this problem, based on subspace projection techniques, will be proposed as well. Convergence of the proposed algorithms will be established. In summary, this project is aiming to carry out some fundamental research for the tensor eigenvalue problem, to develop certain efficient theory and computational methods in the view of optimization, and to timely use these theory and methods to cope with the real-life problems arising from quantum information processing.

对称张量的特征值问题是一个基本而重要的数学问题，它在自动控制、核磁共振成像、量子物理等许多领域都有广泛的应用, 得到了越来越多的中外专家的关注。但是由于这类问题是非常困难的，目前理论和实际效果都非常好的算法比较少。本项目拟采用非线性优化和多项式优化的思想和方法来设计求最大和最小Z特征值的算法：①在子空间投影方法的基础上，设计求最大Z特征值的牛顿子空间投影算法、序列二次规划方法；②用多项式优化的方法，研究对称张量前k个最大Z特征值的算法(也适用于H特征值和D特征值)；③用子空间投影方法分别设计求四阶对称张量标准型、求点到由四阶对称正定张量定义的代数超平面的距离的算法；④研究量子信息处理中张量的量子特征值与基的量子特征值之间的关系，拟设计基于子空间投影方法的算法，同时建立相关算法的收敛性理论。总之，本项目将采用最优化的思想和方法来研究对称张量特征值的算法及其在量子信息处理等领域中的应用。

十几年前，张量特征值问题开始萌芽，之后越来越多的人进入这一领域，现在已经有一些研究结果和相对完整的研究体系，但是远远不够成熟。中国学者为此做了大量的工作，当然还有很多待研究的问题。张量在实际问题中有很多的应用，例如医学核磁共振，和人们的生活密切相关；在新科技人工智能中，TensorFlow逐渐被人接受，里面有大量的张量方面的问题，这些都促使学者们加快研究速度。. 本项目从最优化的角度，将张量特征值问题转化为带特殊约束的最优化问题，用最优化的一些经典有效算法进行研究，为张量特征值的计算尤其是较大规模张量的特征值问题提供有效的算法。. 本项目的主要研究结果和研究意义如下：.（1）从算法的角度，对称张量Z特征值问题，给出了两个求Z特征值的算法，序列子空间投影方法SSPM和可行信赖域方法FTR；对称张量全部实特征问题，给出了一个基于半定规划的算法。.（2）从算法理论角度，我们证明了在一定条件假设下序列子空间投影方法SSPM和可行信赖域方法FTR的全局收敛性，证明了SSPM的局部线性收敛速度和FTR的局部二次收敛速度。.（3）从数值试验的角度，经过初步的数值实验表明，SSPM和FTR可以求解较大规模的问题，例如4阶100维的张量，5阶50维的张量。基于半定规划的方法，由于半定规划子问题求解需花一些时间，因此可以给出较小问题(维数小于10)的全部实特征值但计算时间相对较长。.（4）从开拓新的研究领域的角度，我们研究了线性系统的稀疏解与最小l_0范数非负解在一定条件下的等价性，为后续的张量系统的求解和应用奠定基础。.（5）从研究结果的价值角度，为张量特征值计算提供了新的方法和方向。目前已有不少学者在本项目的研究结果基础上做进一步的深入研究。例如喻高航教授给出了非精确求解SSPM方法，通过非精确求解子问题，提高算法的计算效率。我们课题组则给出了非精确求解FTR方法，一方面提高计算效率并且可以求解张量的广义特征值。