共形曲面的谱簇的渐近分析

本课题准备研究亏格大于或等于1的4维球面中的共形浸入曲面的谱簇，将4维球面中共形浸入曲面等价为曲面上的一个四元全纯线丛，与其四元全纯结构相关的带有位势的狄拉克型算子族的Quillen行列式线丛平凡化可以得到曲面单值空间上一个全纯的行列式函数。这个行列式函数在单值空间内定义的解析子簇将被证明为曲面共形浸入的特征谱簇。我们将描述位势不为零的狄拉克型算子的谱簇，试图证明它在单值趋近于无穷大时，渐近到位势为零对应的真空谱。特别的，当曲面是亏格为1的环面且其共形浸入的谱簇是亏格有限的黎曼曲面时，拟利用代数几何的技巧构造出原来的浸入映射。这将为证明著名的关于环面的Willmore猜想提供新的思路和可能性。

本项目主要研究亏格大于或等于1的紧黎曼曲面到4维球面中的共形浸入的谱簇。我们将4维球面中共形浸入曲面等价为曲面上的一个四元全纯线丛，引入与其四元全纯结构相关的带有位势的Dirac型算子族。然后将此算子族的Quillen行列式线丛的平凡化得到了曲面单值空间上一个全纯的行列式函数，这个行列式函数的零点在单值空间内定义的解析子簇被证明恰为曲面共形浸入的特征谱簇。对于亏格为1的环面情形，我们明确了位势为零的Dirac型算子对应的真空谱的形状，并且完成了位势不为零的Dirac型算子对应的一般谱的精确的渐近分析。对于亏格大于1的紧黎曼曲面的共形浸入的谱簇，我们只给出了定性的分析。