算子的强不可约极分解及强不可约Schauder基研究

Most results in Operator Theory on Hilbert space rely on the existence of orthonormal basis. However, conditional Schauder basis in Hilbert space is rarely paid attention to. It is an important problem of classification of the famous Cowen-Douglas operators. Actually, Cowen-Douglas operators can correspond to unilateral shifts on complete minimal sequence. So study of conditional Schauder basis could supply a new idea for study of Cowen-Douglas operators. Hence it is meaningful to consider conditional Schauder basis in Hilbert space. K. I. Babenko first gave an example of conditional Schauder basis in Hilbert space. Then A. M. Olevskii got the spectral description of all operators which can generate quasinormal conditional Schauder basis based on the polar decomposition theorem. However, the conditional Schauder basis based on the polar decomposition theorem has strong reducibility. Such property makes the basis not far from orthonormal basis. Because of that, strongly irreducible Schauder basis will be introduced in this project, strongly irreducible polar decomposition theorem and a result that is stronger than Olevskii's will be considered. Strong irreducibility will make our basis far different from orthonormal basis.

Hilbert空间中正规正交基的存在性是算子理论中大部分结果成立的基础. 然而，其条件的Schauder基(简称条件基)则没有引起足够的重视. 著名的Cowen-Douglas算子的分类一直是重要问题. Cowen-Douglas算子可表为完备极小序列上的单边后向移位，通过对条件基的研究可为Cowen-Douglas算子研究提供新的思路. 因此，考虑Hilbert空间中条件基很有意义. Babenko首先给出Hilbert空间上条件基的例子，Olevskii利用算子极分解得到生成拟正规条件基的算子类的谱刻画. 然而，极分解得到的条件基有很强的约化性，这使其结果并没有离正规正交基太远. 本项目将引进强不可约条件基的概念，构造算子的强不可约意义下的极分解定理，加强Olevskii的结果，得到生成强不可约拟正规条件基的算子类的谱刻画. 强不可约性使我们将得到的条件基与正规正交基有本质的区别.

Hilbert空间中正规正交基的存在性是算子理论中大部分结果成立的基础. 然而，其条件的Schauder基(简称条件基)则没有引起足够的重视. 著名的Cowen-Douglas算子的分类一直是重要问题. Cowen-Douglas算子可表为完备极小序列上的单边后向移位，通过对条件基的研究可为Cowen-Douglas算子研究提供新的思路. 因此，考虑Hilbert空间中条件基很有意义. Babenko首先给出Hilbert空间上条件基的例子，Olevskii利用算子极分解得到生成拟正规条件基的算子类的谱刻画. 然而，极分解得到的条件基有很强的约化性，这使其结果并没有离正规正交基太远. 本项目引进了强不可约条件基的概念，建立了算子的强不可约意义下的极分解定理，加强Olevskii的结果. 强不可约性使我们得到的条件基与正规正交基有本质的区别...JX Li和YQ Ji曾完全解决了一个n重算子权移位何时为 Cowen-Douglas 算子这一个问题. 有趣的是该问题的逆问题, 即 Cowen-Douglas 算子何时是移位. 当然,一般来说我们不能奢望它是正交基上的移位,这引发了考虑 Hilbert 空间上的非正交基上的移位. 我们给出了一重 Cowen-Douglas 算子成为 Markushevich 基上移位的刻画. 证明了Bergman空间上以 Mobius 变换为符号的乘法算子之伴随算子是 Markushevich 基上的后向移位.