强不可约算子在G-M型空间上算子结构研究中的应用

This project researches G-M type spaces and strongly irreducible operators. It studies the operator structure on G-M type spaces by strongly irreducible operators, combining the K theory, the base theory and the spectral theory. It is not only the study of the space structure, but also the study of the operator struture, which is the research of mutual relations of the two. It focuses on the following problems: (1) the small and compact perturbations of strongly irreducible operators; (2) the approximate Jordan forms of operators; (3) the similarity invariants of operators. The innovations of the project lie in: it constructs a new method on the proof of the small and compact perturbations of strongly irreducible operators by using the spectral theory of operator matrix and it discusses the necessary and sufficient conditions that two operators are similar in the class of operators which are the direct integral of strongly irreducible operators in the research of the similarity invariants of operators.

本项目以G-M型空间和强不可约算子为研究的两个基本点， 结合K理论、基理论和谱理论等工具，通过研究强不可约算子来研究G-M型空间上的算子结构，既非纯粹的空间理论研究，又非纯粹的算子理论研究，是从高层面上研究空间结构和算子结构的互动作用。本项目聚焦于如下关键问题：(1)强不可约算子的小紧摄动问题; (2)算子的近似Jordan标准形; (3)算子的相似不变量。本项目的创新之处在于： 在强不可约算子的小紧摄动问题的证明方法上应用算子矩阵的谱理论构造全新的方法；在算子的相似不变量问题上讨论强不可约算子的直接积分算子类中两个算子相似的充分必要条件。

本项目以G-M型空间和强不可约算子为研究的两个基本点，结合K理论、基理论和谱理论等工具，通过研究强不可约算子来研究G-M型空间上的算子结构，既非纯粹的空间理论研究，又非纯粹的算子理论研究，是从高层面上研究空间结构和算子结构的互动作用。本项目组成员在2015年---2017年共发表学术论文6篇，被录用学术论文1篇，另外还已完成4篇学术论文(均标注有“国家自然科学基金资助(11401101)”)。本项目在可分Banach空间上证明了具有单点谱的算子是有限维不可约算子的小紧摄动，进而建立了有Schauder基的Banach空间上算子的近似Jordan标准形；在Banach空间上给出一类Cowen-Douglas算子FBn(Ω)的定义，并给出FBn(Ω)算子强不可约的若干充分条件；在右序群生成的von-Neumann代数对应的非交换Hardy空间上，给出Hankel算子的定义并给出Hankel算子有界性和渐进有限性的充分必要条件；在框架理论研究中得到了如下成果: 在Banach空间上，给出σ-框架算子的定义并研究其性质、研究p-框架与q-Riesz基的编排性、讨论可相位恢复p-框架的稳定性、给出p fusion框架和q fusion Riesz基的定义并研究其性质，在Hilbert空间上，讨论框架算子在可逆算子摄动下不变问题、讨论K-g-框架和K-g-Riesz基的性质。本项目资助负责人参加了3个国际国内学术会议和出国访学，并资助项目组成员参加了6个国际国内学术会议和出国访学。本项目的主要科学意义体现在：展现了学科分支的交叉与渗透的瑰丽景观；为本项目的后续研究提供理论基础；为与本项目相关的课题提供思想方法。