关于动理学方程高阶渐进保持间断Galerkin有限元格式的设计和应用的研究

In physics, the statistical particle distribution function is described by the kinetic equations, which lies between the particle dynamics described by the Newton's law and the macroscopic fluid hydrodynamics described by the compressible Euler or Navier-Stokes equations, and has wide applications in physical and social sciences, such as rarefied gases, plasma physics, atmospheric motion, bird flocking and traffic network etc. It has the difficulties of multi-scale, multi-dimension and long time simulation, which cause the great challenges on the design of high resolution and high order accuracy numerical schemes. Discontinuous Galerkin finite element method is an efficient approach since it is high parallel, h-p adaptive and easy to deal with complex geometries. We devote to develop a class of high order asymptotic preserving discontinuous Galerkin method, which can uniformly solve the kinetic equations under different scalings. We will combine with the regime indicators and parallel computing to efficiently solve high dimensional multi-scale kinetic equations.

动理学方程是物理中关于粒子概率密度分布函数的一类统计学方程。它介于描述单个粒子的牛顿运动定律和描述宏观流体动力学的可压缩欧拉方程组或纳维-斯托克斯方程组之间，在稀薄气体，等离子物理，大气运动，鸟群的迁徙运动以及城市交通网络等物理和社会科学问题中获得了广泛的应用。这类方程具有多尺度，高维度以及长时间模拟等特点，对设计具有高分辨率的高精度数值格式有很大的挑战。间断Galerkin有限元格式能够处理复杂的几何结构，具有高效的内在并行性以及h-p自适应等特点，是求解这类方程的一类有效的高精度数值算法。我们致力于发展一类高阶的渐进保持间断Galerkin有限元方法，能够统一处理不同尺度不同性态下的动理学方程。我们将结合区域指示子和并行化将算法有效地应用到高维多尺度动理学方程中。

本项目是针对在等离子物理，半导体以及稀薄气体中有重要应用的动理学多尺度方程，发展一致稳定的高精度渐近保持间断Galerkin有限元算法。我们针对高维问题，结合区域指示子，利用区域分解，发展分区域求解的分层或杂交算法，来大大提高算法的计算效率。同时结合间断Galerkin有限元算法的紧致等特点，将算法并行化。本项目的执行，我们发展了两套处理多尺度动理学方程的渐近保持间断Galerkin有限元算法。一套算法基于宏观和微观分解。我们的渐近保持间断Galerkin有限元算法，在不同的区域能自动的转变为求解相应模型的间断Galerkin有限元方法，从而实现了对问题的分层求解，能大大提高计算效率。但这个算法需要引入一个正交投影算子，进行宏观和微观分离，对高维问题，计算相对较为复杂。因此我们也针对原动理学方程和流体动力学方程相结合的方法，发展了第二套基于区域分解的杂交算法，能有效的求解高维问题和并行化。我们发展的两套算法，结果均发表在Journal of Computational Physics上。我们的方法是对求解多尺度动理学高精度渐近保持算法的一个重要补充。