各向异性Navier-Stokes和MHD方程边值问题整体正则性

This project is devoted to studying the global regularity of incompressible Navier-Stokes and magnetohydrodynamics with partial dissipation and magnetic diffusion on bounded domains in high dimensional space. Based on the profound background in the field of physics, engineering, meteorology and so on, the research of Navier-Stokes and magnetohydrodynamics equations has caused wide attention. Utilizing zero velocity and magnetic field at infinity, the global regularity to the Cauchy problem with partial dissipation and magnetic diffusion has been solved. However, in view of the presence of boundary layers，the global regularity results to boundary value problems are few. In this project, we want to establish some results about global smooth solutions under the conditions of “weak” boundary layers. We consider the Navier-slip boundary-value problem. We shall establish elliptic systems of first order derivatives of u on bounded domains, and thus obtain global regularity. There are difference for the partial dissipation and magnetic diffusion in the same direction or not. This project will also study the influences on the global regularity to MHD equations in the both cases.

本项目旨在各向异性的条件下，研究非可压Navier-Stokes和磁流体方程在高维有界域上解的整体正则性。基于在物理、工程、气象等众多领域的深刻背景，Navier-Stokes和磁流体方程的研究广受关注。在某些部分耗散或磁扩散的条件下，利用无穷远场的稳定性，Navier-Stokes和MHD方程Cauchy问题整体解存在唯一性的研究取得了一定进展。但是由于边界层的出现和技术手段的限制，相关边值问题类似结果的证明遇到了困难。为了推进Navier-Stokes和磁流体方程的研究进展，申请人希望在边界层比较“弱”的情况下，通过新的技术得到某些边值问题整体正则性结果。 本项目将考虑Naiver-slip边值问题，在有界域上建立速度场和磁场一阶导数满足的椭圆系统，进而研究解的整体正则性。对于磁流体方程，部分耗散和磁扩散发生在相同或不同方向有一定区别，本项目将研究这两种情况对磁流体整体解的不同影响。

不可压Naiver-Stoke方程一般初值整体光滑解的研究异常困难。然而当Navier-Stokes方程与磁扩散方程耦合后，磁方程会对速度场的整体正则性起到一定作用。首先对于2维Cauchy问题，在耗散系数与磁扩散系数各项异性的情况下，速度场和磁场强解均整体存在。其次，对于维数为3 的全空间情形，当磁场和速度场的初值之间差别比较小时，速度场和磁场的强解也是整体存在的。目前这方面的研究成果主要集中在全空间的情形，因此在有界域上开展此类问题的研究具有一定的理论意义。本项目研究具有较“弱”边界层Navier-slip边值，证明了MHD方程整体强解的存在唯一性。通过建立速度场和磁场导数满足的椭圆方程，利用经典的L^p估计、先验假设、齐次Sobolev空间等工具将上述Cauchy问题的结论推广到了有界域的情形。具体地说，在2维方形域上，得到具有Naiver-slip边值问题各项异性MHD方程整体光滑解；对3维任意光滑区域，在与Cauchy 问题类似的初始条件下，我们得到具有Naiver-slip边值问题MHD方程大初值整体光滑解。