随机复合材料热力双向耦合模型的高效数值方法研究

The coupled thermo-mechanical model of random composite materials possesses the following characteristics: multiscale, multi-physical fields coupling and random. Thus,it is extremely time-consuming to find the numerical solution of the problem by conventional finite element methods, and the application of a multiscale method is unavoidable. The objective of the project is to establish a relatively integrated multiscale analysis method with high precision and high efficiency for the stochastic partial differential equation systems. The main contents include: developing a high-order multiscale analysis method for the stochastic partial differential equations, proposing more effective cell problems by choosing proper cell sizes and boundary conditions, giving an adaptive finite element technique for solving cell problems, and developing a combined hybrid finite element method for efficiently solving the homogenized problem. The innovation of the project lies in developing a systematical, comprehensive and efficient numerical method for random composite materials subjected to a coupled thermo-mechanical model which currently confront the scientific community. And the distinctive point of the project is that the research is carried out by combining the mathematical models, theoretical analysis and computing techniques together to solve the practical problems effectively. The project will offer a highly accurate and effective solution scheme for a kind of stochastic problems with multiscale and multi-physical fields coupling features，enrich the research objects in computational mathematics science, and highlight the great importance of the research of computational mathematics on the science and technology development.

随机复合材料的热力双向耦合模型具有多尺度、随机分布和多场耦合特征，因直接数值求解计算量极大，须采用多尺度方法。 本项目目的是为该类随机偏微分方程模型建立一套相对完整的高精度、高效率的多尺度计算方法。主要研究内容有：建立该类随机偏微分方程模型的高阶多尺度分析方法；从单胞尺寸的大小以及恰当的边界条件方面提出更为有效的单胞数学模型；建立单胞问题求解的自适应有限元方法；发展高效求解热力双向耦合均匀化问题的组合杂交有限元方法。该项目的创新在于针对新对象随机复合材料服役时更为精确的热力双向耦合模型进行更为系统、全面、有效的数值计算方法研究，特色在于面向实际问题将数学模型、理论分析以及计算技术融为一体，以有效解决问题为牵引开展研究。 该项目将为一类具有多尺度特征的、随机的多场耦合问题提供高精度的有效求解方案，丰富计算数学学科的研究对象，突显计算数学研究对科技发展的重大作用。

随机复合材料是工程中常用的一大类复合材料。面对不断扩大的工程应用背景，如何有效表征随机复合材料的细观结构，以及如何定量刻画随机复合材料的局部细观构造特征对材料整体性能的影响是材料科学与工程领域的一个重要问题。研究多物理场耦合和跨尺度关联的多尺度方法是现代科学技术发展的需求和前沿。本项目旨在建立随机复合材料热力耦合行为分析的高精度、高效率的数值计算方法。主要的研究内容及取得的研究成果如下：. 1. 基于渐近均匀化方法，通过引入能够定量刻画复合材料微-细观构造的单胞模型和定义在单胞模型上的辅助单胞函数，建立了复合材料动态热力双向耦合问题的二阶双尺度分析方法，得到了二阶双尺度解的误差估计，并建立了用于模拟分析周期型和随机型复合材料及其结构件热力耦合行为的高精度、高效的二阶双尺度算法。. 2. 在二阶双尺度分析方法和二阶双尺度算法的基础上，编写了多尺度计算源代码，并以此为核心，完成了复合材料热力耦合性能分析的高阶多尺度计算软件的开发，该软件可以用来模拟分析典型复合材料结构件—块体、板、圆柱壳、双曲扁壳的热力耦合性能，还可以用来分析典型工程应用孔洞复合材料、混凝土复合材料的热力耦合性能。. 3. 基于近似等效系数的数值收敛阶，将 Richardson 外推法引入到随机单胞模型计算中，可充分利用在较小代表体积元上已经得到的近似等效系数来外推出更高精度的近似等效系数，提高了等效系数计算的精度和效率。. 4. 借鉴残差型后验误差估计子，提出了基于BLMG的自适应有限元算法。数值算例验证了所提出的方法具有指数型的收敛速度，在同一框架内实现了网格不同程度的加密和放粗。基于ParMETIS的区域分解策略，提出了并行自适应网格细化方法，在保证负载均衡的前提下实现了并行局部网格生成。. 5. 发展了稳态热应力问题、瞬态热应力问题以及动态热力双向耦合问题的组合杂交有限元方法。不仅简化了变分原理和相应的刚度矩阵，而且减小了误差，数值算例以验证了组合杂交有限元方法的精度和效率。. 本项目的开展，为随机复合材料动态热力耦合问题的深入研究提供一个更有效实用的数值模拟工具，具有很强的工程应用价值。本项目所发展的多尺度分析方法对于类似的动态耦合多物理场问题数值求解具有普遍的应用价值。