非交换对称函数在代数组合学中的应用

非交换对称函数理论最早由大数学家 Gelfand 研究和发展。随着它在拓扑学、代数几何学、表示论等众多领域上的广泛应用，非交换对称函数理论与组合数学问题的交叉研究已成为当今代数组合学的前沿课题之一。.本项目旨在开拓新思路将非交换对称函数理论应用到组合数学研究中，结合组合数学的方法和技巧，解决代数组合学中的几个重要猜想，包括Krattenthaler在2005年提出的B型置换行列式猜想和B型非交分拆行列式猜想等。同时，我们将明确非交换对称函数与杨表、有序整数分拆等基本的组合对象之间的内在关系，发展非交换对称函数的秩理论。.非交换对称函数在很多数学领域中扮演非常关键的角色，比如自由李代数、Hecke代数、正交多项式理论等。本项目的研究成果将丰富非交换对称函数理论，推进分拆等组合对象的研究，并为交换对称函数在其它数学领域中的应用提供更多的理论支持和应用实例。

项目研究按计划进行，项目组在国际期刊发表论文4篇，参加国内外学术会议7次，共做会议报告4次。..主要成果集中在置换与集合分拆的组合结构方面。在置换方面，项目组考虑Callan提出的“压平置换”的6个统计量，即降、升、123-子词、321-子词、峰和谷。项目组利用核方法、Euler多项式、第二类Chebyshev多项式得到它们的生成函数的具体表达式。进一步地，项目组考虑固定长度的压平置换中的型xy-z出现的次数。这样的型一共有6种。利用对称函数，项目组对型12-3、21-3、23-1和32-1分别找到其分布所满足的递归关系，发展出一套一致的渠道求其具体表达式。这些递归关系能给出规避这些型的压平置换的个数及其出现次数的平均数；证明了型21-3和型31-2出现次数的平均数相等；对于最后一种型13-2, 项目组利用核方法和递归关系证明了，在型13-2出现次数固定的情况下，压平置换的个数的生成函数是有理函数。在集合分拆方面，项目组把Reiner定义的B型集合分拆推广到$B$型染色分拆。通过考虑B_n型染色分拆的个数的生成函数，项目组得到染色B_n型分拆的总数的渐进表达式，误差控制在O(n^{-1/2}log^{7/2}(n)). ..本项目属于预探索项目，原定研究目标是利用非交换对称函数解决B型置换行列式猜想和B型非交分拆行列式猜想等，尚未得到彻底解决。项目组在寻求行列式的特征向量方面取得非平凡的进展，但是未能求得每个特征值的重数。原定的技术路线的思想仍在讨论中。