区组长度为4、5的 1 1/2-设计存在性及相关问题研究

1 1/2-designs（or partial geometric designs）are a combinatorial structure, which are themselves 1-designs but not 2-designs. 1 1/2-designs are of theoretical importance partly because they can be used to construct strongly regular graphs. The parameters of 1 1/2-designs are intricately involved, and presently most research efforts are devoted to the existence of 1 1/2-designs. 1 1/2-difference families, a new notion introduced several years ago, can be used to construct 1 1/2-designs. This project aims to study the existence of 1 1/2-designs and 1 1/2-difference families with block size 4 and 5, and the existence of 1 1/2-designs that have a subdesigns.

1 1/2-设计（部分几何设计）是介于1-设计和2-设计之间的一类组合构型，利用 1 1/2-设计可以构造有向强正则图，因此对它的研究有着重要的理论意义。1 1/2-设计的参数多关系复杂，目前对它的研究主要集中在扩大 1 1/2-设计的存在结果方面。1 1/2-差族是最近几年刚提出的一类组合构型，可用于得到 1 1/2-设计。本项目计划研究区组长度为4、5的 1 1/2-设计和 1 1/2-差族存在问题，以及含子设计的 1 1/2-设计存在问题。这方面的研究国内外刚刚开始。

1 1/2-设计（部分几何设计）是介于1-设计和2-设计之间的一类组合构型，利用部分几何设计可以构造有向强正则图，因此对它的研究有着重要的理论意义。部分几何设计的参数多关系复杂，目前对它的研究主要集中在扩大部分几何设计的存在结果方面。部分几何设计差族是最近几年刚提出的一类组合构型，可用于得到部分几何设计。本项目计划研究区组长度为4、5的部分几何设计和部分几何差族存在问题，以及与之相关的组合结构存在问题。.项目研究主要取得了如下成果：给出了部分几何设计构造三个结合类的结合方案的充分条件；确定了区组长为4区组型为[λ，1,1]的部分几何设计完全分类；利用有限域上的极空间和偶特征的正交空间给出了一系列部分几何设计的构造；利用有限域上的正交群和奇异辛群分别构造了长方矩阵结合方案的正交分裂方案和奇异辛分裂方案，确定了它们的结合类及在两种特殊情形下的参数, 作为应用，我们利用这些结合方案的结合类构造了一些二元线性码，并初步讨论了码的参数和性质。另外，课题组对半循环带洞可分组设计、光正交签名码等组合结构进行了研究，给出了一系列的存在结果。项目研究成果发表在J. Combin. Designs、Designs, Codes and Cryptography、Discrete Math.等国际专业刊物上。