混合动态系统解的性态分析及相关问题

本项目将借助非线性动力学和非线性分析的理论和方法，利用矩阵理论、稳定性理论、度理论、不动点指数理论以及比较原理、拟线性化方法和计算机模拟等工具，对于混合动态系统（Hybrid dynamic systems）的定性与稳定性问题，解的快速收敛性问题以及具有不连续项的非线性方程边值问题进行研究。通过发展比较原理和对广义单调迭代方法、广义拟线性化方法等问题的深入讨论，得到具有时滞和脉冲影响的混合动态系统解的各类稳定性的判别准则、解的快速收敛性条件以及多点边值问题正解存在性的判别准则，通过对时标上混合动力方程的合理定义，对混合动力方程的若干推广问题进行讨论，给出解的迭代速度较快的方法和各类边值问题存在性的研究结果。揭示时滞和脉冲对系统动力学行为的影响，完善和发展混合动态系统的理论。本项目开展的工作既重视研究结果，也重视方法的改进、统一和扩展。

近年来，随着科学技术的进步与发展，在航空、工程技术、生态学等自然科学领域出现了许多由混合动态系统描述的复杂系统模型，这类系统的特征既包含连续变量又包含离散变量。如果只单独应用连续或离散系统的方法来进行处理，在许多情况下，系统的描述与实际系统特征就会相差甚远。由于混合动态系统模型的大量出现，引起了国内外学术界的广泛关注，成为应用数学和控制理论中非常活跃的研究领域之一。它的研究主要集中在模型设计、模型的定性与稳定性分析、连续过程之间的相互影响、控制策略以及计算机程序上。由于这类模型更能精确地描述客观事物，在理论上需要对该类系统解的性态进行分析，并能够提供解决将连续和离散这两种性能组合在一起的理论结果与应用方法，是一项具有理论和现实意义的工作。.由于混合系统模型是具有连续和离散性质的动态过程，混合动态系统的求解及其动力学性质的揭示是一个非常困难的研究课题。而关于非线性运动（控制）方程的求解以及解的定性和稳定性理论的分析是研究各类动力系统的基本而且重要的问题之一。.本项目借助非线性动力学和非线性分析的理论和方法，利用矩阵理论、稳定性理论、不动点及不动点指数原理以及比较原理、拟线性化方法、Lyapunov函数法和计算机模拟等工具，对几类动力系统的稳定性问题，迭代方法及解的快速收敛性问题以及非线性方程边值问题进行了研究。得到了具有脉冲影响的混合动态系统、时标动态系统、具有时滞的微分系统、集值微分系统和具有时滞影响的奇异系统各类稳定性的相关判据，以及切换系统控制器稳定切换律的设计方法；应用广义拟线性化方法、单调迭代方法、上下解方法、粘滞法和Picard迭代方法等，给出了各类方程近似解的收敛性的研究结果；利用特征值原理、不动点原理等，给出了具有变号项的非局部边值问题、含有P-拉普拉斯算子的非线性微分系统的边值问题等正解的存在性判别准则。.本项目的研究工作，丰富了微分方程领域的理论研究成果。到目前为止，本项目共计发表论文29篇，其中28篇（次）已被SCI、EI和ISTP检索。研究成果除了具有重要的学术价值外，还将在生态学、控制论、通讯等许多领域理论和应用研究中起到重要的参考价值和借鉴作用。从整体上看，本项目圆满地完成了所承担的任务，并为进一步开展深入的研究，打下了坚实的基础。