Linnik型华林-哥德巴赫问题

The Goldbach problem involving powers of 2 was first investigaed by Linnik in his seminar papers in 1951-1953. In particular, Linnik established that every sufficiently large even integer can be represented as the sum of two primes and K powers of 2, where K is an absolutely constant. The conclusion was reviewed as an almost Goldbach theorem. In 1999, Liu, Liu and Zhan investigated the reppresentation of large even integers as the sum of four squres of primes and k powers of 2. The number of powers of 2 in the above two problems was improved in a series of papers. Furthermore, how to make use of the information on powers of 2 plays a key role in these problems. The power of 2 is a very thin sequence, and this project will focus on how to make full use of this thin sequence in the proof. By developing new techniques and new ideas, we wish to improve some known conclusions.

含2的幂次的哥德巴赫问题的研究起始于著名数学家Linnik于1951-1953年的经典论文。特别，Linnik证明了充分大的偶数可以表示成两个素数与若干个2的幂次之和。该结论有时被称为几乎哥德巴赫定理。1999年，刘建亚、廖明哲和展涛得到了对应的含2的幂次的四素数平方和定理，即存在一个非负整数k，使得每个大偶数都可以表成四个素数的平方和加上k个2的幂次。这里，对2的幂次的数目的改进得到了广泛的关注。同时，在问题的处理中如何更充分的利用2的幂次这个信息是一个值得关心的问题。2的幂次是一个非常稀疏的序列，本项目侧重于研究在Linnik型华林-哥德巴赫问题中如何处理2的幂次这个稀疏序列。通过发展新的技巧和思想去利用2的幂次的性质，进而改进已有的方法和已有的结论。

本项目围绕Linnik型华林哥德巴赫问题展开研究，并深入考虑相关的丢番图方程的研究。针对项目中提出的处理涉及四个素数平方和的Linnik问题，我们发展了新的处理方法，并得到新的结果。方法上，使用了申请项目时设计的处理稀疏序列的新思路，并证明了充分大的偶数可表示成四个素数平方及46个2的幂次之和。该成果已写成英文论文，题为"Four squares of primes and powers of 2"，并发表在著名的数论期刊Acta Arithmetica上。. 在相关的丢番图方程及加法数论问题上，我们重点研究了华林哥德巴赫问题、与二次型有关的除数问题以及有限域中的加法问题。特别，在四次和六次华林哥德巴赫问题中，我们发展了新的处理均值积分的方法，证明了充分大的满足同余条件的正整数都可表示成13个素数的4次方之和。著成一篇学术论文，题为"On the Waring-Goldbach problem for fourth and sixth powers",发表在国际著名数学期刊Proceeding London Math Society上。该论文发展的新方法，已被多篇文章使用。另有完成论文"The sum of divisor of a quadratic form", 发表在Acta Arithmetica上，以及"On restricted sumsets over a field",发表在 Finite Fields and Their Applications上。