理想插值算子的离散逼近研究及其应用

Polynomial interpolation is a basic problem in approximation theory, it plays a crucial role both in scientific computation and engineering application. In this project, we will focus on an important class of multivariate polynomial interpolation problems, namely the so-called ideal interpolation. Ideal interpolation is a generalization of the univariate Hermite interpolation. Many practical problems in reality can be transformed into multivariate approximation model. However, the interpolation basis of ideal interpolation cannot be computed as easily as Lagrange interpolation, and the corresponding error analysis is difficult to establish. In this project, we will use Lagrange interpolation to approximate ideal interpolation, which is equal to discrete a given ideal interpolation problem to Lagrange interpolation. We call this problem the discrete approximation problem. If we approximate differential operator with difference operator, then the interpolation basis of ideal interpolation can be obtained from Lagrange interpolation basis directly under certain conditions, and the error formulas of Lagrange interpolation can be used to analyze the error formulas of the original interpolation problem. Thus the discrete approximation problem boils down to the discretization of the D-invariant subspace. Moreover, with the aid of algebraic geometry and the analyzation of the structure of D-invariant subspaces, we will discuss the relationship between ideal projectors and Lagrange projectors.

多项式插值作为逼近理论的基本问题，在科学计算及工程实践中都发挥着重要的作用。本项目将研究一类重要的多元多项式插值问题，即所谓的理想插值。理想插值是Hermite插值的推广，实际问题中涉及的插值多数以理想插值的形式呈现。但是一般的理想插值未能像Lagrange插值那样可以很容易地计算出插值基，相应的误差分析等也很困难。本项目拟考虑利用Lagrange插值逼近理想插值（等价于将理想插值离散为Lagrange插值的极限，称之为离散逼近问题），亦即利用差分算子逼近微分算子，这样在一定条件下可以由Lagrange插值基直接得到理想插值的插值基，并可以利用Lagrange插值的误差来分析理想插值的误差。因此，问题归结为将离散逼近问题转化为插值条件中微分闭子空间的离散，进一步利用代数几何工具并结合微分闭子空间的结构分析，深入探讨理想投影算子与Lagrange投影算子之间的关系。

多元多项式插值理论的研究较一元情形还不够完善。理想插值作为一类重要的多项式插值问题，其研究不仅有利于插值系统的构建，更将对逼近理论应用于科学计算和工程实践提供重要的理论基础。理想插值区别于非理想插值(即Birkhoff插值)的根本是其插值条件对应的子空间是微分闭的。理想插值的离散逼近问题是指将给定的理想插值转化成Lagrange插值问题的极限形式。一元理想插值问题均可以写成Lagrange插值的极限形式，然而这个结论对于多元理想插值并不一定成立。本项目围绕理想插值中的离散逼近问题进行展开，主要讨论了如下几个问题：1.利用对称笛卡尔张量分析了理想插值对应的微分闭子空间的结构，给出了闭子空间中高阶项与一阶项的关系表达式；2.推广了P.Gniadek的结论，解决了一类特殊的理想插值的离散逼近问题，即当插值条件包含所有的小于n阶偏导数和一个n阶微分多项式的情形;当n>2时，利用笛卡尔张量给出寻求离散节点的一个充分条件，使得这些离散节点上的Lagrange插值问题逼近于给定的理想插值问题；3.在项目开展前，我们曾给出了插值条件为二阶微分闭子空间时理想插值可以被离散的一个充分条件，本项目再次利用二阶微分闭子空间的结构属性，给出其在离散逼近算法思想下可以离散的充要条件，该条件对应的非线性方程组规模减小且计算效率提高；4.针对非理想插值问题，利用所谓的关联矩阵给出了其正则性判别的方法，此方法避免了传统的行列式计算问题；同时给出了插值问题几乎正则的一个必要条件和正则的一个充分条件。