有理插值算子、保凸插值的深入研究

In interpolation theory and engineering design, various interpolation operators are intensively applied to construct interpolation curves and surfaces or to approximate functions. Convexity preserving interpolation is an important problem in computer-aided geometric design. The Lebesgue constant of an operator, such as Shepard interpolation operator and its improvements, Barycentric Lagrange interpolation operators etc., plays an important role on the theory. Furthermore, it is very important for obtaining error estimates of the interpolation curves and surfaces in engineering either. Many international scholars have proposed the problem about the upper and lower bounds of the Lebesgue constant, some of which are unsolved so far. In the engineering field, other international scholars have cared about the errors by using the interpolation curves and surfaces, and wish the errors can be controlled under a given tolerance in advance. This problem concerns to the Lebesgue constants of the operators again. In this project, we will research the Lebesgue constants of the various interpolation operators to obtain the upper and lower bounds of theirs and to get the explicit bounds even the optional bounds. Also, we wish to solve the Lebesgue constant problem proposed by the international scholars. Furthermore, we will research the problem proposed by an international scholar- Peters in the engineering field. For a given set of ordered data points, by extraction of its intrinsic geometric properties we will give a local shape adjustable method, which produce convexity-preserving interpolation curves or surfaces in virtue of interpolation operators and basis functions. The algorithm is simple and very efficient. In this project, we will explore new interpolation operators and its application.

在插值理论与工程应用中，广泛使用各种插值算子构造插值曲线、曲面或逼近函数。在计算机辅助几何外形设计中，保凸插值是重要的研究内容。Shepard插值算子及其改进算子、重心Lagrange插值算子等的勒贝格(Lebesgue)常数不仅在理论上具有重要意义，在工程应用上对插值曲线、曲面的误差的估计是必不可少的。许多学者研究了有理插值算子的勒贝格常数的上下界问题。一些学者也关注插值曲线曲面构造中的误差，期望插值曲线曲面能在给定的小区域内。本项目以研究各种插值算子的勒贝格常数为出发点，旨在获得勒贝格常数明确的上下界估计、最优估计，解决国外学者提出的有关勒贝格常数的难题，并解决Peters等人的问题。研究对于给定点列或网格点，提取其内在几何属性，构造统一、稳定的计算格式，并应用插值算子或基函数，构造具有局部形状可调整的保凸插值曲线或曲面。本项目还将探索其它算子插值、逼近的性质及应用。

本项目研究插值曲线曲面的方法及其在工程中的应用，计算各类插值算子的勒贝格(Lebesgue)常数，研究各种插值算子的保凸、保单调性质，构造新的具有更优良性质的插值算子，探索细分插值中未解决的重要基础问题，解决数学中各类重要的应用不等式等，这些研究对计算机辅助几何设计中的曲线、曲面造型具有重要的应用，同时发展了数学的基础理论。主要成果如下：1、解决了经典四点插值细分的一个30多年的猜想，并首次获得判定四点插值细分曲线保单调的充要条件，部分成果发表在国际专业杂志(CAGD)，被国际知名学者及论文主编称为 “it's nice work!”；并证明了经典四点插值细分曲线是处处非凸非凹的，除非它包含一段三次多项式曲线，这一成果出乎很多学者的意料，即将发表在国际专业杂志(CAGD)。2、首次构造了一个新的插值算子，它具有有限的Lebesgue常数，并估计了Lebesgue常数，证明了它插值任何连续函数是一致收敛的，并估计了收敛的速度。该算子比国际学者Floater和Hormann插值算子优越，成果发表在意大利数学杂志Calcolo(JCR Q1) ；改造了一类插值算子，与已有的Berrut等算子相比，误差优越1百到1万倍，成果已在学术会议上宣讲；对一些插值算子的Lebesgue常数作了比较精密的估计，改进了已有的结果。3、利用广义凸的概念，导出三次Catmull-Rom样条参数曲线保广义凸插值的充要条件，并利用点列的内在性质，用几何方法构造保凸插值曲线，具有算法简单，效率高，这些成果有多篇发表在计算机辅助设计与图形学学报上；利用渐进迭代逼近算法，构造了插值快速收敛的Bernstein-Bezier三角曲面，成果部分发表在国际专业期刊（The Visual Computer）。4、在Bernstein-Markov型不等式方面取得重大进展，解决了1995年国外著名学者的问题，完成成果达50多页，所用方法是原创性的；在数学的Mitrinovi´c–Adamovi´c不等式，圆函数不等式，Frame不等式，Jordan-Ste£kin不等式等取得了一系列成果。本项目共计发表SCI及一级期刊论文28篇，在国内会议上宣讲3篇，一些重要成果仍在投稿或整理完善中。这些系列成果有望推动计算机辅助设计领域的理论与应用，以及对函数逼近论与函数不等式产生较大的影响。