多元非理想插值问题研究

Non-ideal interpolation (i.e. Birkhoff interpolation) as an important branch of multivariate polynomial interpolation has many significant applications in approximation theory, CAGD, applied cryptography, PDE theory, etc. However, in contrast to the wide study and complete theory of ideal interpolation (Lagrange interpolation and Hermite interpolation), its theory and related algorithms are far from complete due to the difficulties in characterizing its complex behaviors. Current achievements in this field can only solve some problems with special interpolation node structures or/and uniform interpolating conditions. Most of them are based on traditional methods such as analysis or approximation theory. In recent years, the applicant and her collaborators have studied non-ideal interpolation from a constructive algebraic geometric point of view. As a result, they generalized some key theorems and algorithms in ideal interpolation to those in non-ideal situations and established a tentative theory for non-ideal interpolation. In this project, by combining methods in symbolic computation and numerical computation, the applicant will continue the study of non-ideal interpolation mainly on three aspects: 1) given interpolation nodes and corresponding derivative conditions (incidence matrix), construct the proper interpolation space; 2) given an interpolation space and an incidence matrix, determine the regularity of the interpolation scheme and construct the properly posed set of nodes; 3) given a multivariate Birkhoff interpolation scheme, design stable and efficient algorithms to solve it.

非理想插值（Birkhoff插值）作为多项式插值的一个重要分类，在逼近论、CAGD、应用密码学、PDE求解等诸多方面有着重要应用。但是与理想插值（Lagrange插值和Hermite插值）已经得到的广泛研究和成熟的理论体系相比，非理想插值的理论和算法因其自身的复杂特性还远未得到完善和进一步发展。已有的结果大都采用传统的分析与逼近的方法，研究特殊的插值问题。项目申请人及其合作者从构造性代数几何的角度重新解读剖析该问题，已经将理想插值问题中的一些关键理论和算法推广到了非理想插值情形，初步建立起了多元非理想插值的符号计算理论基础。本项目将继续采用符号计算与数值计算相结合的方法，从三个方面深入研究一般性的多元非理想插值问题，即①给定插值结点和结点上的微商插值条件（即关联矩阵），构造适定的插值空间；②给定插值空间和关联矩阵，判定插值格式正则性并构造适定结点组；③给定插值系统，寻求高效稳定的求解算法。

非理想插值（Birkhoff插值）作为多项式插值的一个重要分类，在逼近论、CAGD、应用密码学、PDE求解等诸多方面有着重要应用。但是与理想插值（Lagrange插值和Hermite插值）已经得到的广泛研究和成熟的理论体系相比，非理想插值的理论和算法因其自身的复杂特性还远未得到完善和进一步发展。已有的结果大都采用传统的分析与逼近的方法，研究特殊的插值问题。在本项目中，我们从构造性代数几何的角度重新解读剖析该问题，将理想插值问题中的一些关键理论和算法推广到了非理想插值情形，建立起了多元非理想插值的符号计算理论基础。采用符号计算与数值计算相结合的方法，深入研究了一般性的多元非理想插值问题，给出了任意插值条件下的适定插值基函数的构造方法；极小单项基的快速算法和不变的单项基的存在条件；对于给定插值结点有误差的情形，给出了稳定单项基的算法；提出了插值函数的快速有效计算算法，多元非理想有理插值问题的计算等。此外，我们还进一步将函数插值理论进一步推广到概率密度插值。根据最优传输理论，给定两个概率测度，存在唯一的微分同胚，将源概率测度映到目标概率测度，同时极小化传输代价，并且这一映射由一个凸函数的梯度映射给出，这一函数满足蒙日-安培方程。通过对两个凸函数求取闵可夫斯基和，我们可以实现概率测度间的插值。我们给出了变分法则来计算最优传输映射，并应用于保测度参数化和概率测度插值。样条插值理论被广泛应用于CAE领域中的等几何分析。等几何分析领域的基本问题是自动六面体网格生成，即所谓的神圣网格问题（Holy Grid）。我们基于曲面叶状结构理论和全纯微分理论，给出了神圣网格的自动生成算法，同时保证网格的奇异线数目最小，从而从理论上给出了神圣网格问题解决方案。