浸入界面方法的改进研究及其应用

界面问题在数值求解时，由于模型方程中一些物理参数的不连续，源项奇异，致使许多针对具有光滑解的问题所设计的有限差分方法常常在界面附近达不到预期的精度要求，甚至有时完全不可用。本项目拟在二阶精度浸入界面方法的基础上，发展四阶精度浸入界面方法，用于求解二维、三维具有分段不连续常系数的广义Helmholtz方程，设计快速Helmholtz算法；针对含导数形式跳跃条件的界面问题，发展广义浸入界面方法，分析广义浸入界面方法与算子理论间的关系。分析水平集方法及界面追踪方法的特点，针对自由面或移动界面问题，将水平集方法或界面追踪方法与广义浸入界面方法相结合，发展混合浸入界面法，数值求解带有不连续粘性系数，密度及奇异源项的Navier-Stokes方程，最后并行化所发展方法的程序包。本研究可为流体流经障碍物问题，液滴在不同流动中的变形、破碎及合并以及地下水等问题的数值模拟提供精确、稳定和高效的数值计算方法。

数值求解界面问题时，由于模型方程中一些物理参数的不连续、源项奇异等，致使许多针对具有光滑解的问题所设计的数值方法常常在界面附近达不到预期的精度要求，项目组深入研究了浸入界面方法，该方法从问题本身的物理背景或受约束的微分方程本身预先给出跳跃条件，得到更多的界面关系式，在远离界面的区域，通常采用标准的有限差分格式或有限元方法，界面附近的网格点或元则依据得到的界面关系式对数值方法进行修正，通过比较在无穷范数意义下的误差量级，浸入界面方法往往具有整体的二阶收敛性。若系数、解及其流通量的不连续性消失，则浸入界面方法就是标准的有限差分方法或有限元方法。Helmholtz方程经常被用来刻画声波和电磁波的散射和辐射以及建筑物的振动现象，对此类偏微分方程的求解始终是人们关注的对象，当波数不连续或源项奇异时，会导致模型方程的解不连续，增加了求解的难度。我们采用有限体积方法、有限差分方法结合浸入界面方法对波数不连续或源项奇异的一维、二维Helmholtz方程在直角坐标系、极坐标系下进行求解，构造了一系列高精度精致差分方法，对得到的系数矩阵采用有效的迭代方法进行求解，对于不同边界条件构造了同精度的逼近格式，通过数值试验验证了所建立格式对大波数问题的适应性。对匹配的界面和边界方法进行了比较研究，该方法在求解带有奇异源的不连续系数的椭圆型方程时需要通过选取适当的辅助线、虚拟点和跳跃条件对微分方程进行离散，在界面处离散跳跃条件和离散微分方程是相互分离的，通过反复迭代处理低阶跳跃条件可以达到理论上所需任意高阶精度的匹配的界面和边界格式。对下一步工作进行了探索。