时间分数阶扩散方程源项反问题正则化方法及其在生物堆浸中的应用

The time fractional diffusion equation is a better mathematical model to describe the anomalous diffusion phenomena of the contaminant in porous medium. If the pollutant problem is point source pollution, the corresponding mathematical model contains the source term with the form of time-space separation. But in reality, the position and the intensity relative to the temporal variable of point source are usually unknown, which need some indirect approaches to identify. The research contents of this project are concerning about the regularization method for the time fractional diffusion equation inverse source problem, including: (1) The construction of the regularization method for the sparse source term inverse problem relative to the space variables, the realization of the algorithm for the regularization method and the convergence analysis; (2) The construction of the regularization method for the inverse source problem relative to the time variable, the realization of the algorithm for the regularization method and the analysis of the convergence; (3) The application of the inverse source problem for the time fractional diffusion equation in biological heap leaching. We will follow the idea of theory analyzing, algorithm design and numerical examples testing. The research contents of the project are the deeper development of the theory and methodology for the fractional diffusion equation inverse problem, and will promote the application of the inverse source problem for the time fractional differentiation equation.

时间分数阶扩散方程定解问题能够很好地刻画多孔介质中污染物的反常扩散现象，当扩散现象中含有点污染源时，所归结的数学模型通常为带时空变量分离源项的时间分数阶扩散方程定解问题，且与空间变量相关的源项函数往往具有稀疏性。而在实际问题中，点源的位置及点源的强度往往未知，需要通过反演的手段加以识别。本项目研究时间分数阶扩散方程源项反问题正则化方法，具体研究内容为：（1）与空间变量相关的稀疏源项反问题正则化方法，正则化方法算法设计与实现及其收敛性分析；（2）与时间变量相关的源项反问题正则化方法，正则化方法算法设计与实现及收敛性分析；（3）时间分数阶扩散方程源项反问题在生物堆浸中的应用。本项目研究将采用理论分析、算法设计和数值验证的技术路线，项目的研究内容将进一步完善分数阶扩散方程反问题的理论与方法，并对时间分数阶扩散方程反问题在实际中的应用起到更好地促进作用。

本项目研究了扩散方程（整数阶、分数阶和分布阶）系列反问题，具体反问题包括：时间源项与时间稀疏源项反问题、空间源项反问题、时间源项与阶数同时反演问题、空间源项与阶数同时反演问题、源项与初值同时反演问题、系数反演问题等。对于时间分数阶扩散方程时间源项（非稀疏情况）反问题，从理论上给出了源项在分数阶索伯列夫空间下的唯一性结论，并采用磨光正则化方法分析了正则化解的收敛率；对于时间分数阶扩散方程稀疏时间源项反问题，理论上说明了该反问题的唯一性，并理论稀疏正则化理论，将反问题转为稀疏优化问题，构造了稀疏优化问题求解的半光滑牛顿迭代算法，并理论上给出了迭代算法的收敛性；对于时间分数阶扩散方程源项与阶数同时反演问题，理论上给出了同时反演问题的唯一性结论，将同时反演问题转为正则化泛函优化问题，并设计了正则化泛函交替迭代算法，同时证明了迭代算法的收敛性；对于时间分数阶空间源项反问题，设计了一类修正的拟边界值方法，证明了拟边界值正则化方法对应正则化解的收敛率；对于分布阶扩散方程逆时反问题，理论上给出了在空间一维情形时端点观测数据下逆时反问题的唯一性结论，基于变分伴随技巧，构造了逆时反演的共轭梯度算法；针对整数阶扩散方程反问题，项目系统研究了空间、时间源项反问题、初值与源项同时反演问题、系数反问题，其中空间源项反问题和初值与源项同时反演问题在连续正则化框架下给出了正则化解的收敛率，时间源项反问题在离散正则化框架下证明了正则化解的收敛性，系数反问题借助Carleman估计证明了该反问题的唯一性。. 本项目研究的扩散方程反问题的不适定性理论与数值反演算法。该研究内容是对扩散方程源项反问题研究的进一步拓展,也是扩散方程反问题研究的进一步深入,无论从数学理论还是从数值方法上都具有非常重要的研究价值，预期所得的研究成果对地下水污染防护与控制具有一定的理论指导意义。