a-相对完备性研究及其在Abreu方程中的应用

In the study of affine differential geometry, the complete of affine hypersurface is a very important branch in global differential geometry. It comes down to many high-level nonlinear PDE and Monge-Ampère equations.Based on the early work, the project plans to use the viewpoint and methods in the affine differential geometry to study these equations. For example, use some affine invariants to get the derivative estimates of solutions of these equations, and to describe the solutions and the global properties of corresponding hypersurfaces. In the project, the specific studies are: 1、the relation of completeness of a-relative affine hypersphere; 2、Bernstein property of Abreu equation in higher dimension. While substantial progress on above researching issues, this project aims to find some novel ideas about the methods and techniques to study these PDEs. Consequently enrich and develop the theory of affine differential geometry and PDEs.

在仿射微分几何的研究中, 仿射超曲面的完备性研究是整体微分几何中一个十分重要的研究分支，其研究往往会涉及到许多高阶非线性PDE和Monge-Ampère型方程，本项目拟在前期工作的基础上，从仿射微分几何的观点和方法出发，去研究这类型的方程，比如利用曲面的一些仿射不变量得到这类方程解的导数估计, 并由此刻画方程的解及其对应的超曲面的整体性质。本项目具体的研究内容：1、a-仿射超球面各种完备性之间关系的研究；2、Abreu方程在高维时的Bernstein性质。本项目希望在对上述问题的研究过程中取得实质性进展的同时，发展关于这类方程的新的一些研究方法和技巧，以此来丰富和发展仿射微分几何、偏微分方程理论。

1914年，由Bernstein提出了Bernstein问题，当Abreu方程的解u满足S(u)=0时，在某种完备性假设条件下，我们得到u一定是二次多项式。这时，我们称u满足Bernstein性质。对Abreu方程，在2维情形下，已得到其Bernstein性质的证明。另一方面，对高维时Abreu方程的研究还很少，其原因是Abreu方程的高阶和非线性造成的。本项目研究给出在一定的条件下的高维Abreu方程的Bernstein性质。首先我们给出Abreu方程的一个收敛定理，利用收敛定理和blow-up分析，我们得到Ricci曲率上界条件可以保证欧氏完备必有Calabi完备，由Li-Jia定理可得2≤n≤5时Bernstein性质成立。