时标上分数阶Hamiltonian系统的若干问题研究

This project aims to define the fractional order Sobolev's spaces on time scales as the work spaces for studying fractional order Hamiltonian systems on time scales by critical point theory. we will study the project as follows:.(1)We will study the existence and multiplicity of solutions, homoclinic solutions and heteroclinic solutions of fractional order Hamiltonian systems on time scales;.(2)We will study the existence and multiplicity of almost periodic solutions for fractional order Hamiltonian systems with delay on time scales;.(3)We will analysis the impact of impulsive perturbation on the solutions of singular fractional order Hamiltonian systems on time scales, Firstly, the existence and multiplicity of almost periodic solutions for singular fractional order Hamiltonian systems with impulsive effects on time scales are studed. Secondly, some sufficient conditions will be established for almost periodic solutions of singular fractional order Hamiltonian systems on time scales generated by impulses. Thirdly, subharmonic solutions of singular fractional order Hamiltonian systems with impulsive effects on time scales will be discussed. .The research of this project will not only develop the theory of fractional order Hamiltonian systems on time scales, but also will further extend the own range of applications of critical point theory. Therefore, this project has important theoretical and practical values.

本项目旨在建立时标上分数阶Sobolev空间作为工作空间，应用临界点理论研究时标上分数阶Hamiltonian系统的如下三个问题：.(1)研究时标上分数阶Hamiltonian系统解的存在性、多重性以及同宿解、异宿解的存在性问题；.(2)研究时标上分数阶时滞Hamiltonian系统概周期解的存在性和多重性；.(3)分析时标上奇异分数阶Hamiltonian系统中脉冲扰动的作用，即研究时标上具脉冲项的奇异分数阶Hamiltonian系统概周期解的存在性和多重性，探索时标上奇异分数阶Hamiltonian系统具有脉冲生成的概周期解的条件，考察脉冲扰动对时标上奇异分数阶Hamiltonian系统次调和解的影响。本项目的研究将不仅发展和完善时标上分数阶Hamiltonian系统的理论，还将进一步扩展变分方法和临界点理论的应用范围，具有重要的理论意义和广泛的应用前景。

本项目建立了时标上一类分数阶Sobolev空间，搭建了时标上一类分数阶Hamiltonian系统的变分框架和一套变分研究方法，获得一些关于其解以及脉冲生成的解的有意义的研究成果，拓展临界点理论的应用领域，统一了分数阶连续Hamiltonian系统和分数阶离散Hamiltonian系统的研究，为分数阶Hamiltonian系统解的数值模拟提供了理论依据。作为分数阶微分方程研究的深入，我们找到了研究分数阶薛定谔方程和拟线性分数阶切尔霍夫方程基态解、驻波解和高能解序列的有效方法。取得如下主要研究成果：.1.成功找到了当导数为整数阶时时标 上的 -Laplacian微分方程边值问题的可解性的研究方法--变分方法，作为该Sobolev空间在变分法中的首次应用, 我们将空间 作为工作空间,应用变分方法中的临界点理论研究了时标 上的 -Laplacian分数阶微分方程边值问题解的存在性和多重性。.2.我们找到了应用变分方研究脉冲分数阶Hamiltonian系统的工作空间，定义了其弱解，构造了其对应的能量泛函，应用山路引理和鞍点定理给出其解存在的一些充分条件。.3.基于时标上的共形分数阶微积分理论，然后建立了时标 的闭区间上的共形分数阶Sobolev空间. 研究其完备性、自反性、一致凸性、嵌入定理以及其上一类泛函的连续可微性等重要性质。.4.将建立的时标 的闭区间上的共形分数阶Sobolev空间作为工作空间，研究了时标上分数阶Hamiltonian系统的可解性。.5.应用变分方法研究了一类拟线性分数阶薛定谔方程正解、负解以及高能解序列的存在性，获得了具临界增长的切尔霍夫型方程的驻波解的存在性和多重性，探索了具临界增长和超临界增长的分数阶薛定谔方程非平凡解存在的充分条件，研究了具临界增长的分数阶薛定谔方程基态解的存在条件。.