修正的p-Laplacian方程的变分方法研究

This program shall aim to study the existence and multiplicity of standing waves for modified p-Laplacian equations via variational methods. This is a class of nonlocal problems proposed as a model for free vibrations of elastic strings and can model the population density. Moreover, its degenerative local form appeared in the study of plasma physis and condensed matter theory. Firstly, we shall study the variational structures for the problems. Generally, because of the reason of modified term and nonlocality, the problems are in the form of the variational functionals.Unfortunately, our working spaces are not vector spaces, only completed metric spaces. Therefore, classical minimax method and critical point theory may not be applied. From above all, we will study the existence and multiplicity of nontrivial(or nonsemi-trivial) weak solutions and multibump solutions by nonsmooth critical point theory for continuous functional in completed metric spaces. The numerical simulation of solutions may be presented to illustrate the feasibility and effectiveness of our results.

本项目拟采用变分方法研究修正的p-Laplacian方程的驻波解的存在性和多解性。该类问题属非局部问题，起源于一个有弹性细绳的自由振动模型，也常用于种群动力学系统中模拟动物种群的密度。不仅如此，其退化的局部形式亦出现于等离子物理和凝聚态理论的研究中。本项目首先将研究其变分结构。而由于其具有修正项和拟线性的原因，该类问题虽然在形式上有变分泛函，但我们在构造变分泛函时用的工作空间甚至不是线性空间，仅只是完备度量空间，传统的极大极小方法和临界点理论不适用于其研究。因此，我们将应用近年发展起来的完备度量空间上连续泛函的非光滑临界点理论研究其非平凡（或非半平凡）弱解和多胞解的存在性和多解性，获得修正的p-Laplacian方程的驻波解的存在性和多解性的一些充分条件，并对解做数值模拟，说明这些条件的合理性和广泛性。

本项目按项目计划书中所述的研究计划和实施方案进行，已发表与本项目紧密相关的SCI论文2篇，按时完成本项目的考核目标。取得如下成果：.(1)应用变分方法中的临界点定理研究了一类具脉冲项的修正的p-Laplacian方程(p=2)的变号解的存在性和多解性。这类问题属非局部问题，起源于一个有弹性细绳的自由振动模型，也常用于种群动力学系统中模拟动物种群的密度,其退化的局部形式亦出现于等离子物理和凝聚态理论的研究中。本项目首先选取sobolev空间，给出其等价范数，将该空间作为工作空间，构造一类具脉冲项的修正的p-Laplacian方程(p=2)对应的变分框架，证明该泛函的连续可微性，并说明其临界点为所研究问题的弱解，实现了从寻求所研究问题的弱解到寻求该泛函的临界点的转化。然后应用变号临界点定理获得一类具脉冲项的修正的p-Laplacian方程(p=2)弱解的存在性和多解性的若干充分条件，并说明所得结果的有效性和实用性。这一研究既拓展了临界点理论的应用范围，又提供了一种研究具脉冲项的修正的p-Laplacian方程的新方法。.(2)本项目的合作者研究了与具脉冲项的修正的p-Laplacian方程密切相关的一类时标上具无穷分布时滞和模糊项的反应扩散BAM递归模糊神经网络。通过构造恰当的李雅普诺夫函数和时标上的sobolev空间中的嵌入不等式技巧，获得时标上具无穷分布时滞和模糊项的反应扩散BAM递归模糊神经网络的全局鲁棒指数同步的若干充分条件。这一研究为应用变分方法获得具脉冲项的修正的p-Laplacian方程解的存在性和多重性后分析其全局鲁棒指数同步性提供了有效方法。