广义O-U型过程的统计推断问题研究

该项目主要讨论广义O-U型过程的统计推断问题，广义O-U型过程是在O-U型过程的基础上，增加了一个非线性的部分，此部分可用来描述数据的确定性趋势。我们计划研究该模型的如下统计推断问题：（1）参数与半参数的估计问题；（2）过程轨道的"跳"的检验和非线性部分是否存在，是否为线性等的检验问题；（3）模型的叠加（Superposition）问题，因为实际数据分析已经表明，模型叠加可以更好的描述数据的相依结构；（4）模型复杂度的检验问题。本课题讨论的模型是高维的，样本观察值之间是相依的，模型中也具有非线性部分，模型及其研究的问题都具有一定的困难。另外，与传统的统计模型不同，在模型中描述趋势的部分和描述波动的部分是等同的，该模型比目前广为研究的O-U型过程更符合实际。同时，课题中提出的一些统计方法，也有一定的创新。

本项目主要研究广义O-U型过程的统计推断问题，研究内容集中在其参数的估计问题和与该过程有关的假设检验问题。主要取得如下研究结果：（1）给出了O-U型过程的基于连续矩条件的GMM估计，并证明了该估计的大样本性质和渐近有效性。（2）研究了具有对称α 稳定过程驱动的O-U型过程的参数估计问题，证明了其最小二乘估计的相合性，同时得到了最小二乘估计的极限分布，而此极限分布并非正态分布。（3）考虑了O-U型过程的相关性的变点检验问题，提出了该变点检验问题的CUSUM检验统计量，并得到了CUSUM检验统计量的极限分布，同时给出了小样本时的随机模拟结果。（4）为了利用Ait Sahalia 和Jacod（2009）提出的检验过程是否有跳的方法，我们研究了与O-U型过程有关过程的实现幂变差（realized power variation ）、实现多幂变差（realized multipower variation）的极限行为，取得了如下研究成果：（i）对于fractional integral processes with jumps的幂变差，我们证明了大数定律和中心极限定理； （ii）对于semimartingales and Gaussian integral processes with jumps的多幂变差，我们得到了大数定律和中心极限定理； （iii）对于带跳的分数维Brown 运动和带跳的Gauss积分过程的幂变差，我们证明了大数定律和中心极限定理。（5）研究了变量或模型选择问题，取得如下结果，a）利用自适应的Lasso算法，讨论了向量自回归的模型选择问题，并证明了此模型选择方法具有相合性和渐近正态性。目前，我们正将这一方法用来研究O-U过程的模型选择问题。b）提出了基于惩罚经验似然的变量选择方法，该变量选择方法不仅具有相合性和Oracle性，而且具有计算的有效性，同时该方法只需要有矩条件的限制。