时空 g-class Ornstein-Uhlenbeck 型过程的统计推断问题研究

In this project, we study statistical inference in spatio-temporal processes of g-class Ornstein–Uhlenbeck (OU) type, and the main contents include the following parts. Firstly, we study the change point test for parameters in the autocorrelation function of spatio-temporal processes of g-class OU type. We propose Bayesian Factor method and Posterior Threshold method for single change point test. And then we combine Binary Segmentation algorithms with Posterior Threshold method or/and Bayesian Factor method for multi-change point test. Sequential bootstrap method is used to reduce computational burden. We also study the asymptotic properties and numerical performance of the proposed tests. Secondly, we propose one-step-ahead forecast and new location interpolation for spatio-temporal processes of g-class OU type. For one-step-ahead forecast, we use copula to capture the correlation structure of the data, and make forecast based on estimated conditional distribution. Using expanded copula dependent structure, and the data on observed locations, we interpolate the new location. The proposed method is fast in computation and accurate in estimation. Thirdly, we investigate the goodness-of-fit test for spatio-temporal processes of g-class OU type. We introduce copula function to construct the tail dependence index for spatio-temporal data, and test whether the process fits the data well, using tail dependence index, stationary distribution of each observed location, and forecasted error based on rolling window method.

本课题研究时空g-class Ornstein-Uhlenbeck（OU）型过程的统计推断问题，主要内容如下。一、研究时空g-class OU型过程自相关函数中参数的变点检验问题。单变点检验用贝叶斯后验阈值法和贝叶斯因子法；多变点检验基于二元分割法，结合后验阈值法或贝叶斯因子法；利用序贯自助法降低计算成本；研究检验的大样本性质及有限样本数值表现。二、研究时空g-class OU型过程的向前一步预报和新站点插值。利用copula函数对时空数据的相依性进行建模，构造条件分布，进行向前一步预报；利用扩展的copula相依结构，基于观测站点的数据，对新站点进行插值，提高计算速度，改进预测精度。三、研究时空g-class OU型过程的拟合优度检验问题。引入copula函数来构造时空数据的尾相依结构，利用尾相依结构、各空间站点上的平稳分布、基于滚动窗口的预报误差，研究该时空过程与实际数据的拟合程度。

时空数据、Ornstein-Uhlenbeck 型过程、分位数回归、两样本问题与高维检验以及它们的各种组合是统计研究中非常重要的内容。本课题主要研究内容和重要结果如下。.一、误差项来自Ornstein-Uhlenbeck型过程的线性回归模型中的变量选择问题：在单个水平的分位数回归中，允许误差过程具有异方差性；而在复合分位数回归中，需要误差过程是同方差的，使得斜率在各个分位数上保持不变。类似于独立数据，所提的分位数估计量具有√n相合性和渐近正态性。更进一步，将adaptive Lasso方法应用到变量选择，所得到的分位数估计量具有变量选择的相合性，并且非零系数估计量和真实模型下的估计系数具有相同的渐近分布。.二、Ornstein-Uhlenbeck型过程两样本检验问题：在第一步中，基于相关系数的最小二乘估计量来检验两个过程的相关结构的相等性，并验证了估计量服从标准正态分布。如果第一步检验不拒绝原假设，基于加权经验特征函数差构造统计量，进行第二步检验边际分布的相等性。由于检验统计量具有复杂的渐近分布，所以应用序贯bootstrap方法做决策。.三、基于copula的时空数据半参数模型问题：引入一种基于copula的时空模型来分析时空数据并提出了一种半参数估计量。由于该模型的边际分布和时空相依性是分开的，所以所提的算法在计算上比较简单。所提方法并不假设其具有一个参数分布，而是假定其为非参数的边际分布，因此给出了更大的灵活性。基于估计的条件分位数，本方法还在新的时间点和位置上，提出了构造点预测和区间预测的更便利方式。.四、高维分位数回归模型中的检验问题：提出了一种新的简单的检验程序，具有保护协变量的前提下，在高位分位数回归中检验生物标记的效用，该检验从条件边际回归中基于最大得分型统计量构造而来。在原假设和备择假设下研究了该统计量的渐近性质，进一步应用multipler bootstrap方法来验证其理论性质。通过数值模拟展示了所提方法更能控制全误差率，也可以用于向前回归中的停止法则。.科学意义：在统计理论上做出了贡献，为实际数据分析提供了合适的方法。