p(x)-Laplace 方程的边界爆破问题研究

There are two hot research problems that attract the attention of some mathematics investigators in recent years, one is the boundary blow-up problem, which originated from the studying on the constant negative curvature of Riemann surface and the theory of automorphic functions; the other is the p(x)-Laplace equation, which arose from　the nonlinear elasticity theory, however, few works have been done on the combination of these two problems. Comparing with the p-Laplacian operator, the p(x)-Laplace operator possesses more complicated nonlinear properties, for example, it is not homogeneous, and usually it has not the　so-called first eigenvalue. In this project, the boundary blow-up problem of Logistic type equation and L-V prey-predator system are two major problems which will be discussed in detail. First, the existence of solution for these two problems will be solved by establishing the maximum principle and comparison theorem, also the uniquness and blow-up rate will be investigated deeply. Then, we study the boundary blow-up problem for the p(x)-Laplace equation with critical Sobolev exponent by generelizing the concentration-compactness principle of Lion's, we only make preliminary study on this question. The research achievement is hoped to promote efficiently the development of the theory of the boundary blow-up and also helps us to understand the properties of p(x)-Laplace operator itself.

对曲率为负常数的黎曼曲面理论和自守函数理论的研究中所产生的边界爆破问题和弹性力学中抽象出来的变指数Laplace问题近年来成为两个热点研究问题，但对二者结合的研究工作却很少。因为p(x)-Laplace算子的非齐次性和没有所谓的第一特征值的特点导致它与p-Laplace方程边界爆破问题有本质性不同。本项目重点研究Logistic型方程的边界爆破问题与L-V捕食系统（非单调动力系统）的边界爆破问题，通过建立适用于p(x)-Laplace方程的极大值原理和比较定理，利用上下解方法处理边界爆破解的存在性，对解的唯一性及爆破速率问题进行更深入研究；另外，通过发展Lions的集中紧性原理，对带有临界指数的p(x)-Laplace方程的边界爆破解的存在性和稳定性问题作初步探讨。本项目的研究成果有望推动边界爆破理论的进一步发展,同时对于深入理解p(x)-Laplace算子的性质也有一定的帮助。

对曲率为负常数的黎曼曲面理论和自守函数理论的研究中所产生的边界爆破问题和弹性力学中抽象出来的变指数Laplace问题近年来成为两个热点研究问题，但对二者结合的研究工作却很少。本项目重点研究了如下四类问题。. 1、不显含空间变元的p(x)-Laplacian方程爆破解的存在性及渐近行为。. 考虑了带有p(x)-Laplacian的L.Bieberbach方程解的存在性及渐近行为，首先将该方程解的存在性问题转化为对应的泛函在广义Lebesgue空间中临界点的存在性问题。然后通过对变分泛函做化简，将问题又转化为一个与变分泛函相关的泛函的零点存在性问题，最终利用零点定理获得了至少一个爆破解的存在性。在研究爆破解的渐近行为时，得出了边界爆破解的速率位于两个同阶的对数函数之间。. 2、显含空间变元的p(x)-Laplacian方程边界爆破解的存在性及渐近行为估计。. 为了研究空间变元对边界爆破解的影响，我们对一类显含空间变元的p(x)-Laplacian方程边界爆破问题进行了研究。在简化的Keller-Osserman条件下证明了方程的边界爆破解的存在性，并进一步研究了它的爆破速率。其结果表明：空间径向幂函数这种分离形式对解的爆破速率没有任何影响。. 3、一维情形下二阶微分方程边界爆破解的存在性. 若考虑径向对称解的存在性，椭圆型方程的边界爆破解的存在性则会转化成一个二阶常微分方程边界爆破解的存在性。本项目重点探讨了一类二阶常微分方程在一维情形下爆破解的存在性、唯一性以及爆破速率估计等问题。研究结果表明：在一维情形下，当算子方程的右端函数在零点为零时，爆破解存在的充要条件是K-O条件成立。. 4、一维情形下p-Laplace方程边界爆破解的存在性. 利用对称性方法，考察了一维情形下p-Laplace方程边界爆破正解的存在性、唯一性以及解在区间端点处的爆破速率估计等问题。研究表明：爆破解的存在性不仅依赖于右端函数在无穷远处的估计，也依赖于它在零点处的估计。