带低正则值的p(x)-Laplace方程的长时间行为

In this project, we consider the long time behavior for the p(x)-Laplace equations with low regularity data, i.e. the initial data and forcing term are just integrable functions or Radon measures. Firstly, we overcome the difficulties brought by the irregular data to establish some delicate regularity results and study the existence of global attractors in some regular spaces. Secondly, using the index theory in critical point theory, we try to consider the lower bounds for the fractal dimension of global attractors for the p(x)-Laplace equations. Especially, we intend to show that the fractal dimension of global attractors for the p(x)-Laplace equations can be infinite. This project is significant for us to understand deeply the existence and geometry of global attractors for degenerate evolution equations with low regularity data.

本课题研究带低正则值的p(x)-Laplace方程的长时间行为。这里低正则值指外力项、初始值只是可积函数或Radon测度。首先，我们克服低正则值给正则性估计带来的困难，建立精细的估计，深入研究方程在较正则空间中的全局吸引子存在性。进一步，我们利用临界点理论中的指标理论研究p(x)-Laplace方程的全局吸引子分形维数下界的估计，在适当条件下证明p(x)-Laplace方程全局吸引子的分形维数可以是无穷大。本课题对于深入认识带低正则值的退化方程的全局吸引子存在性及其几何性质有着重要的理论和现实意义。

具变指数的非线性问题是一个新兴的且较为活跃的研究课题，它反映和刻画“逐点异性”的物理现象，在非牛顿流体，弹性力学，图像恢复等领域都有广泛应用。p(x)-Laplace 方程作为一类典型的具变指数增长条件的偏微分方程，近年来备受人们关注。本课题中我们研究了外力项和初始值为可积函数的抛物型 p(x)-Laplace 方程解的长时间行为，考查了全局吸引子的存在性及其分形维数估计。通过精细的 Marcinkiewicz 估计、方程分解和渐进先验估计方法，我们研究了方程解的正则性，进而证明了初始值和外力项只是可积函数时，p(x)-Laplace方程在较正则的空间中存在全局吸引子；进一步，我们考察所得到的全局吸引子的分型维数估计，在适当的对称性假设下，我们证明全局吸引子的分形维数可以是无穷大。这些成果对于深入认识带低正则值的退化方程的全局吸引子存在性及其几何性质有着一定的理论和现实意义。