理想逼近理论及其应用

In this project， we will further develop ideal approximation theory which is introduced by applicant and his collaborators, and apply this theory to the study of homological algrabra, representation theory and model category structure: 1, we will generalize Eklof Lemma and its dual for ideal approximation theory, further develop ideal approximation theory, and apply this theory to the study of model category structure; 2, D. Benson and his coauthors studied connections between phantoms map and purity theory over a group algebra. In this project, we will apply ideal approximation theory to generalize D. Bensons' work to a more general ring. J. Z. Xu studied when every cotorsion module is pure-injective. In this project, we will apply ideal approximation theory to give a new approach to study Xu's work and its dual. 3, we will formulate a general version of telescope conjecture for ideal cotorsion pairs, and apply ideal approximaiton theory to sudy telescope conjecture over a general ring; 4, we will apply ideal approximation theory to study connections between phantom precovers and flat pecovers, and to give a new approch to prove the existence of flat covers.

申请人及其合作者引入和建立了理想逼近理论。本项目将进一步发展理想逼近理论，并将其应用于同调代数，表示论和模型范畴结构的研究： 1，我们将推广Eklof Lemma及其对偶，进一步发展理想逼近理论，并将其应用于模型范畴结构的研究； 2，D. Benson等人研究了群代数上的phantom映射与纯性理论的关系，本项目将利用理想逼近理论推广D.Benson等人的工作到更一般的环上。J.Z. Xu研究了何时每个余挠模均为纯内射模这一问题。本项目将利用理想逼近理论给出研究Xu的工作及其对偶的一个新的途径。 3，本项目将拓展telescope猜测的研究到理想余挠对的情形，并利用理想逼近理论研究一般环上模范畴的telescope猜测。 4，利用理想逼近理论研究phantom预盖和平坦预盖的关系，并利用这一理论给出平坦盖存在性的新的证明途径。

受本项目支持，项目执行人及其合作者深入研究了理想逼近理论，并研究了Gorenstein同调代数的相关课题。理想逼近理论是由项目执行人与其合作者I. Herzog，P.A. Guil Asensio和 B. Torrecillas等人建立和发展的研究正合范畴中通过一类特殊的态射来逼近对象这一现象的一个理论。依托本项目，项目执行人与I. Herzog教授合作，继续深入研究了这一理论。在我们的合作工作中，我们引入了正合范畴的箭头范畴的Monp-epi正合子结构，借助于这一正合子结构，我们建立和发展理想逼近理论的一系列技术工具：理想逼近理论版本的Salce引理，Wakamastsu引理和Christensen引理。利用我们发展的技术工具，我们将D. Benson和G. Ganacadja在有限群表示论中的关于phantom态射的工作系统地推广到了一般环上，特别的，我们彻底解决了D. Benson和G. Ganacadja于1999年提出的一个公开问题，证明了对一个有限群G而言，无论基域为何，其相应的群代数的稳定范畴上的phantom理想的幂零次数都有一个公共的上界群，即G的阶数。项目执行人还和 S. Estrada以及A. Iacob合作，研究了全零调复形。利用全零调复形，我们给出了Krull维数有限的交换Noetherian环是Iwanaga-Gorenstein环的若干等价刻画。这一工作改进了Iyengar和Krause关于带有对偶化复形的交换noetheiran环的相关结果。我们的工作引进了一系列新的想法和工具，对逼近理论和Gorenstien同调代数的研究有着重要的意义。